Questão 16 (Nível 2) da OBMEP 2023

Question

A malha triangular da figura é formada por 25 triângulos equiláteros. Com dois desses triângulos vizinhos obtemos um losango, como os destacados em amarelo na figura. Quantos losangos podem ser formados dessa maneira?

Malha triangular composta por 25 triângulos equiláteros distribuídos em 5 linhas, com três losangos formados por pares de triângulos vizinhos destacados em amarelo, exibindo as três orientações possíveis

A
25
B
30
C
36
D
42
E
45

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 2) da OBMEP 2023

Nível 2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

A malha triangular da figura é formada por 25 triângulos equiláteros. Com dois desses triângulos vizinhos obtemos um losango, como os destacados em amarelo na figura. Quantos losangos podem ser formados dessa maneira?

Malha triangular composta por 25 triângulos equiláteros distribuídos em 5 linhas, com três losangos formados por pares de triângulos vizinhos destacados em amarelo, exibindo as três orientações possíveis

A
25
B
30
C
36
D
42
E
45

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Os losangos que podem ser formados se dividem nos tipos I, II e III, como na figura ao lado. Os possíveis losangos do tipo I estão indicados com as cores vermelho, verde, azul e amarelo na primeira das figuras abaixo; contando em linhas de baixo para cima, vemos que eles são em número de 4+3+2+1=10. De modo análogo, o número de possíveis losangos do tipo II também é 10, assim como os do tipo III. No total, temos 10+10+10=30 losangos possíveis.

[Figura: Triângulo grande subdividido em 25 triângulos equiláteros menores, com três tipos de losangos destacados e rotulados como I, II e III.]

[Figura: Três triângulos divididos em triângulos menores, rotulados abaixo como "Tipo I", "Tipo II" e "Tipo III", destacando com tons de cinza as diferentes orientações de losangos.]

Outra maneira de contar é observar que os triângulos menores, com exceção dos cinco triângulos que têm um lado em comum com o lado esquerdo do triângulo maior, podem ser divididos em pares de modo a formar todos os possíveis losangos do tipo I, que são então em número de \frac{25-5}{2} = 10. O mesmo argumento com relação aos lados esquerdo e inferior do triângulo maior, respectivamente, se aplica a losandos dos tipos II e III, e chegamos novamente a 30 losangos possíveis.

Ainda outra solução é ilustrada abaixo

[Figura: Três triângulos com losangos destacados rotulados como "Tipo I", "Tipo II" e "Tipo III", com setas curvas indicando "giro" do Tipo I para o Tipo II e do Tipo II para o Tipo III.]

Aqui vemos a figura que ilustra os losangos do tipo I na posição original e também rotacionada duas vezes de modo que sua base fique horizontal, ilustrando assim todos os losangos dos tipos II e III, respectivamente. O número de losangos não muda a cada rotação, e como ele é 10 na primeira figura segue, mais uma vez, que temos 30 losangos possíveis.

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Resolução comentada

A malha é um triângulo grande de lado 5, com 5^2=25 triângulos pequenos. Cada losango é formado por 2 triângulos que dividem um lado, então basta contar os lados internos da malha: cada lado interno é compartilhado por exatamente 2 triângulos vizinhos e dá um losango.

Total de lados de triângulos pequenos: cada um dos 25 triângulos tem 3 lados, então 25\cdot 3 = 75 lados contados, com repetição.
Lados no contorno: o triângulo grande tem lado 5 e 3 lados, então 3\cdot 5 = 15 lados pequenos. Esses pertencem a um só triângulo.
Lados internos: cada um é contado 2 vezes. Então 75 = 15 + 2x, e x = \dfrac{75-15}{2} = 30.

Cada lado interno corresponde a um par de triângulos vizinhos, ou seja, a um losango. Não há repetição, pois dois triângulos vizinhos compartilham um único lado.

Conferindo pelas orientações: são 10 losangos em cada uma das 3 orientações, total 3\cdot 10=30.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConfunde o número de losangos com o número de triângulos da malha, 25.
CNão corresponde a nenhuma contagem correta; erra a conta dos lados internos.
DContagem excessiva, provavelmente contando losangos maiores ou pares repetidos.
EUsa 75 lados dividido por algo errado, esquecendo de descontar os 15 lados do contorno.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 16 no caderno Nível 2 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 2. Prova oficial ↗