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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2023

Nível 2 · Matemática: Inequações e desigualdades

Tia Zélia tem 10 sobrinhos e Mariana é a sobrinha mais velha. Tia Zélia notou que todos os seus sobrinhos têm idades diferentes e que a soma de suas idades é 110 anos. Qual é a menor idade que Mariana pode ter?

  1. A
    12
  2. B
    14
  3. C
    15
  4. D
    16
  5. E
    18
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Queremos a menor idade possível para a mais velha, então as outras nove idades devem ser as maiores possíveis, mas todas diferentes e menores que a de Mariana.

Seja M a idade de Mariana. As outras nove idades são inteiras, distintas e menores que M. A maior soma possível para elas é:

(M-1)+(M-2)+\dots+(M-9)=9M-45

A soma total precisa ser 110, então:

M+(\text{soma das outras nove})=110

Como a soma das outras nove é no máximo 9M-45, temos:

110 \le M+9M-45 \;\Rightarrow\; 10M \ge 155 \;\Rightarrow\; M \ge 15{,}5

Como M é inteiro, M\ge 16.

Verificação com M=16: as outras idades podem ser 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8 e 7, que somam $95-... $ vejamos: 15+14+\dots+7=99, e com Mariana dá 115, que passa de 110. Basta diminuir 5 anos de alguma idade (por exemplo, trocar 7 por 2), mantendo as idades diferentes: 99-5=94, e 94+16=110. Funciona.

Com M=15 o máximo seria 15+(14+13+\dots+6)=15+90=105<110, impossível.

Logo, a menor idade é 16.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom 12 anos, a soma máxima possível seria bem menor que 110.
  • BCom 14 anos, a soma máxima das dez idades distintas é 95, menor que 110.
  • CCom 15 anos, a soma máxima é 105, ainda menor que 110.
  • E18 é possível, mas não é a menor idade.

Assunto: Inequações e desigualdades.

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Ver como caiu na prova Questão 17 no caderno Nível 2 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 2. Prova oficial ↗