Questão 8 (Nível 3) da OBMEP 2022

Question

Um professor de educação física precisou escolher, dentre seus alunos, uma equipe formada por dois meninos e uma menina ou por duas meninas e um menino. Ele observou que poderia fazer essa escolha de 25 maneiras diferentes. Quantos meninos e meninas são alunos desse professor?

A
5
B
7
C
9
D
10
E
25

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Nível 3) da OBMEP 2022

Nível 3 · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Um professor de educação física precisou escolher, dentre seus alunos, uma equipe formada por dois meninos e uma menina ou por duas meninas e um menino. Ele observou que poderia fazer essa escolha de 25 maneiras diferentes. Quantos meninos e meninas são alunos desse professor?

A
5
B
7
C
9
D
10
E
25

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Sejam x e y as quantidades de meninos e meninas. Claramente devemos ter x, y \ge 1 e pelo menos uma das duas quantidades maior do que 2, pois, caso contrário, não seria possível formar as equipes. Em uma equipe formada por dois meninos e uma menina, temos x opções de escolhas do primeiro menino, x - 1 opções de escolhas para o segundo menino e y opções de escolhas para a menina. Entretanto, nessas escolhas, contamos duas vezes cada dupla de meninos, pois a troca de ordem entre eles gera a mesma equipe. Assim, o total de equipes nessa situação é \frac{xy(x - 1)}{2}. De modo semelhante, o total de equipes com duas meninas e um menino é \frac{xy(y - 1)}{2}. Portanto,

50 = xy(x - 1) + xy(y - 1) = xy(x + y - 2)

Consequentemente, x, y e x + y - 2 são divisores de 50.

Se x = 1 ou y = 1, um deles deve ser solução da equação z(z - 1) = 50, que não possui raízes inteiras. Portanto, x, y \ge 2 e, assim, x + y - 2 \ge x e x + y - 2 \ge y. Como 50 = 2 \times 5^2, temos apenas as seguintes possibilidades:

(x, y, x + y - 2) = (2, 5, 5) ou (x, y, x + y - 2) = (5, 2, 5)

Em ambos os casos, a quantidade de alunos é x+y=7.

A título de ilustração, vamos admitir que a turma fosse formada por dois homens H1 e H2 e por cinco mulheres M1, M2, M3, M4 e M5. Nesse caso, as 25 diferentes equipes são as seguintes:

M1M2H1, M1M2H2, M1M3H1, M1M3H2, M1M4H1, M1M4H2, M1M5H1,
M1M5H2, M2M3H1, M2M3H2, M2M4H1, M2M4H2, M2M5H1, M2M5H2,
M3M4H1, M3M4H2, M3M5H1, M3M5H2, M4M5H1, M4M5H2, H1H2M1,
H1H2M2, H1H2M3, H1H2M4 e H1H2M5.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Sejam m o número de meninos e f o de meninas.

As equipes do primeiro tipo (2 meninos e 1 menina) são \binom{m}{2}\cdot f. As do segundo tipo (2 meninas e 1 menino) são \binom{f}{2}\cdot m. Como os dois tipos não se misturam, somamos:

\frac{m(m-1)}{2}f+\frac{f(f-1)}{2}m=25

Colocando \frac{mf}{2} em evidência:

\frac{mf}{2}\,(m-1+f-1)=25 \;\Rightarrow\; mf\,(m+f-2)=50

Agora testamos valores inteiros, pois mf divide 50:

m=1: f(f-1)=50, sem solução inteira.
m=2: 2f\cdot f=50, logo f^2=25 e f=5. Serve.
m=3: 3f(f+1)=50, impossível, pois 50 não é múltiplo de 3.
m=4: 4f(f+2)=50, impossível, pois 50 não é múltiplo de 4.
m=5: f(f+3)=10, logo f=2, que é o mesmo caso com os papéis trocados.

Para m\ge 6 (e f\ge 2) o produto mf(m+f-2) já passa de 50, e o caso f=1 cai no item 1 com os papéis trocados.

Conferindo com 2 meninos e 5 meninas: \binom{2}{2}\cdot5=5 e \binom{5}{2}\cdot2=20, e 5+20=25.

O total de alunos é 2+5=7.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

A5 é só o número de meninas (ou de meninos) em um dos grupos, não o total de alunos.
CNão há solução inteira de mf(m+f-2)=50 com m+f=9.
DCom 10 alunos o número de equipes não é 25 para nenhuma divisão entre meninos e meninas.
EConfunde o número de equipes (25) com o número de alunos.

Assuntos: Combinações e binômio de Newton, Equações do 1º grau e problemas.

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Questão 8 no caderno Nível 3 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 3. Prova oficial ↗