Questão 7 (Nível 3) da OBMEP 2022

Resolução comentada

Como os dois desenhos têm a mesma face na mesa, o cubo só foi girado em torno do eixo vertical. Girar 90^\circ leva a contradições: uma mesma face apareceria com cores diferentes nas duas vistas. Com 180^\circ tudo é consistente. Assim, a segunda vista mostra a face de trás e a face esquerda, e a face de cima aparece nas duas vistas, girada de 180^\circ.

Use x (esquerda→direita), y (frente→trás) e z (baixo→cima), de 0 a 2. Os cubinhos cinzentos que cada vista obriga a existir são:

1. Face de cima (vista 1): (0,0,2), (0,1,2), (1,2,2), (2,2,2). A vista 2, girada de 180^\circ, mostra exatamente os mesmos quatro. São 4 cinzentos.
2. Face da frente: além do (0,0,2) já contado, aparecem (1,0,1) e (2,0,0). Total: 6.
3. Face da direita: além de (2,0,0) e (2,2,2) já contados, aparece (2,2,0). Total: 7.
4. Face de trás (frente da vista 2): aparecem (2,2,2), (1,2,2) e (2,2,0), já contados, e também (0,2,1) e (0,2,0). Total: 9.
5. Face da esquerda: (0,2,1), (0,2,0), (0,1,2) e (0,0,2) já estão contados. Nada novo.

São 9 cinzentos obrigatórios. Os demais cubinhos, inclusive os escondidos, podem ser todos brancos. O máximo de brancos é

Alternativa D.

Pegadinha: Contar duas vezes os cubinhos cinzentos de aresta e de quina, que aparecem em mais de uma face, e esquecer que a segunda vista mostra as faces de trás e da esquerda.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ASubtrai cinzentos demais, contando 12 em vez dos 9 obrigatórios, por exemplo contando duas vezes os cubinhos de aresta.
• BConta 11 cinzentos, repetindo cubos que aparecem em duas faces.
• CConta 10 cinzentos, ainda com cubos de aresta repetidos.
• ESupõe apenas 8 cinzentos, esquecendo algum cubinho das faces de trás ou da esquerda.

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

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