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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Nível 1) da OBMEP 2022

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

O retângulo ABCD tem área igual a 1\text{ cm}^2 e os pontos E, F, G e H são pontos médios dos lados aos quais pertencem, conforme indicado na figura. Qual é a soma das áreas das regiões coloridas de azul?

Retângulo ABCD com pontos médios E em AD, F em AB, G em BC e H em CD, divididos por diagonais e segmentos internos ligando vértices e pontos médios, com quatro regiões destacadas em azul.

  1. A
    2/7\text{ cm}^2
  2. B
    1/3\text{ cm}^2
  3. C
    1/4\text{ cm}^2
  4. D
    2/9\text{ cm}^2
  5. E
    1/6\text{ cm}^2
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Resolução comentada

Resolução comentada

Para facilitar, uso um retângulo de largura 2 e altura 1, com área 2. No final, divido por 2 para voltar à área de 1\ \text{cm}^2.

Coordenadas: A(0,1), D(2,1), B(0,0), C(2,0), E(1,1), F(0,\tfrac12), G(1,0), H(2,\tfrac12). Os segmentos internos são AC, BD, EB, EC, FH, FG e GH.

  1. Triângulo A-E-P, com P = AC\cap EB = (\tfrac23,\tfrac23). Base AE=1 e altura \tfrac13, então a área é \tfrac16.
  2. Triângulo em F, com vértices F, (\tfrac12,\tfrac12) e (\tfrac13,\tfrac13). O terceiro vértice é EB\cap FG. Base \tfrac12 e altura \tfrac16, então a área é \tfrac1{24}.
  3. Quadrilátero em D, com vértices D(2,1), Q(\tfrac43,\tfrac23), R(\tfrac32,\tfrac12) e H(2,\tfrac12). Aqui Q=BD\cap EC e R=EC\cap FH. Divido em DHR, de área \tfrac18, e DRQ, de área \tfrac1{12}, o que dá \tfrac5{24}.
  4. Triângulo H-C-S, com S=EC\cap GH=(\tfrac53,\tfrac13). Base HC=\tfrac12 e altura \tfrac13, então a área é \tfrac1{12}.

Soma, com denominador 24:

\tfrac16+\tfrac1{24}+\tfrac5{24}+\tfrac1{12}=\tfrac{4+1+5+2}{24}=\tfrac{12}{24}=\tfrac12

Como o retângulo auxiliar tem área 2, as regiões azuis ocupam \tfrac12\div 2=\tfrac14 do retângulo. Para área 1\ \text{cm}^2, a soma é \tfrac14\ \text{cm}^2.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com as áreas calculadas; a soma das quatro regiões não dá 2/7.
  • BIgnora parte da divisão por 2 ou superestima as regiões; a soma correta é 1/4.
  • DResulta de erro nas interseções das retas, o que altera as áreas dos triângulos.
  • EConsidera só a região do triângulo AEP (área 1/6 no retângulo auxiliar) ou subestima a soma.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: OBMEP 2022 · Nível 1. Prova oficial ↗