Questão 7 (Nível 1) da OBMEP 2022

Resolução comentada

A figura mostra a fila inicial 1, 3, 5, 4, 2 e a fila final 1, 2, 3, 4, 5. Os cartões 1 e 4 já estão no lugar certo, então só mexemos nos cartões 3, 5 e 2.

Veja onde cada cartão está e onde deve ficar (posições de 1 a 5, da esquerda para a direita):

1. O cartão 3 está na posição 2 e deve ir para a posição 3.
2. O cartão 5 está na posição 3 e deve ir para a posição 5.
3. O cartão 2 está na posição 5 e deve ir para a posição 2.

Os três formam um ciclo: 3 → posição do 5 → posição do 2 → posição do 3. Um ciclo de 3 elementos não se resolve com uma troca só, porque uma troca arruma no máximo dois cartões e só arruma os dois de uma vez se eles estiverem trocados entre si. Aqui isso não acontece.

Com duas trocas dá certo:

• Troca 1: trocamos os cartões 3 e 2 (posições 2 e 5). A fila fica 1, 2, 5, 4, 3.
• Troca 2: trocamos os cartões 5 e 3 (posições 3 e 5). A fila fica 1, 2, 3, 4, 5.

Uma troca não basta e duas bastam, então o mínimo é 2.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AUma única troca só arruma dois cartões, mas três estão fora do lugar e formam um ciclo.
• CArrumar um cartão por vez gastaria 3 trocas, mas dá para fazer com 2, pois a segunda troca já arruma dois cartões.
• DExagera: não é preciso mexer nos cartões 1 e 4, que já estão certos.
• EConta uma troca por cartão, sem considerar que os cartões 1 e 4 já estão no lugar e que uma troca pode arrumar dois cartões.

Assunto: Permutações.

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