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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Nível 1) da OBMEP 2022

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

branco ou azul, e o número que aparece em cada hexágono indica quantos de seus vizinhos têm o verso azul. Quantos hexágonos da figura têm verso azul?

Seis hexágonos regulares justapostos com bordas laranjas: na coluna central, o hexágono superior contém o número 2 e o inferior contém o número 3; à esquerda, o hexágono superior contém o número 3 e o inferior contém o número 1; à direita, o hexágono superior contém o número 2 e o inferior contém o número 2.

  1. A
    2
  2. B
    3
  3. C
    4
  4. D
    5
  5. E
    6
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Pela figura, há 5 hexágonos: o de cima (2), o central (3), o da esquerda em cima (3), o da esquerda embaixo (1) e o da direita (2). Mas o enunciado fala em seis e a figura descrita mostra seis números: topo (2), esquerda-cima (3), direita-cima (2), centro (3), esquerda-baixo (1), direita-baixo (2). Vou nomear: T=topo, L1=esquerda cima, R1=direita cima, C=centro, L2=esquerda baixo, R2=direita baixo.

Vizinhanças (hexágonos que se tocam):

  • T: L1, R1, C
  • L1: T, C, L2
  • R1: T, C, R2
  • C: T, L1, R1, L2, R2
  • L2: L1, C
  • R2: R1, C

Como L2 vale 1 e tem vizinhos L1 e C, exatamente um deles é azul. Como C vale 3 entre 5 vizinhos, vamos testar.

  1. R2 vale 2 e tem vizinhos R1 e C: ambos são azuis.
  2. Logo C é azul, então em L2 (valor 1) L1 não é azul.
  3. L1 vale 3 com vizinhos T, C, L2: todos azuis. Então T e L2 são azuis.
  4. Conferindo L2 = 1: vizinhos L1 (branco) e C (azul), dá 1. Certo.
  5. T vale 2: vizinhos L1 (branco), R1 (azul), C (azul), dá 2. Certo.
  6. R1 vale 2: vizinhos T (azul), C (azul), R2 (azul) dá 3. Errado.

Como há contradição, refaço: em L1=3 os vizinhos T, C e L2 são azuis; então L2 vale 1 e tem C azul, logo L1 branco. Isso é consistente. Em R2=2, R1 e C azuis. R1=2 com T, C, R2 azuis dá 3, então R2 não é azul. Assim R2 é branco, e C=3 tem vizinhos T, L1, R1, L2, R2 azuis: T, R1, L2 = 3. Certo.

Azuis: C, T, R1, L2 = 4 hexágonos.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConta apenas parte dos hexágonos azuis, ignorando que as condições de T, R1 e L2 forçam mais azuis.
  • BOmite um dos hexágonos azuis (T, R1, L2 ou C), pois a soma dos vizinhos azuis não fecha.
  • DInclui L1 ou R2 como azul, o que contradiz os números 1 em L2 e 2 em R1.
  • ETornar todos azuis daria números maiores do que os indicados.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Fonte: OBMEP 2022 · Nível 1. Prova oficial ↗