Questão 7 (Nível 2) da OBMEP 2022

Question

Uma folha de papel retangular ABCD, de 10 cm por 20 cm, tem uma face colorida e o verso branco. Foram feitas duas dobras nessa folha, levando-se os pontos A e C sobre a diagonal BD, de modo que as dobras ficaram paralelas a essa diagonal, como mostrado na figura abaixo.

Esquema ilustrando a folha retangular ABCD com uma diagonal BD e duas linhas de dobra paralelas a ela; setas curvas vermelhas partindo dos vértices A e C indicam as dobras sendo feitas em direção à diagonal. À direita, após uma seta horizontal, a folha resultante com duas partes brancas triangulares dobradas sobre a face verde.

Qual é a área da região colorida que fica visível após as dobras?

A
25\ \text{cm}^2
B
50\ \text{cm}^2
C
75\ \text{cm}^2
D
100\ \text{cm}^2
E
125\ \text{cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Nível 2) da OBMEP 2022

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Uma folha de papel retangular ABCD, de 10 cm por 20 cm, tem uma face colorida e o verso branco. Foram feitas duas dobras nessa folha, levando-se os pontos A e C sobre a diagonal BD, de modo que as dobras ficaram paralelas a essa diagonal, como mostrado na figura abaixo.

Esquema ilustrando a folha retangular ABCD com uma diagonal BD e duas linhas de dobra paralelas a ela; setas curvas vermelhas partindo dos vértices A e C indicam as dobras sendo feitas em direção à diagonal. À direita, após uma seta horizontal, a folha resultante com duas partes brancas triangulares dobradas sobre a face verde.

Qual é a área da região colorida que fica visível após as dobras?

A
25\ \text{cm}^2
B
50\ \text{cm}^2
C
75\ \text{cm}^2
D
100\ \text{cm}^2
E
125\ \text{cm}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução sem usar semelhança de triângulos:
Ao dobrar a folha, o vértice A do quadrado coincide com o ponto A' da diagonal. Como a reta MN é a mediatriz do segmento AA', temos AS = SA' e AA' perpendicular a MN. Como MN é paralela à diagonal BD, o segmento MR paralelo a AA' é também perpendicular a BD. Temos, dessa forma, dois triângulos retângulos congruentes ASM e MRD, pelo caso ALA de congruência de triângulos. Logo, AM = MD = 5. De forma análoga, concluímos que os triângulos retângulos ANS e NBT são congruentes, logo AN = NB = 10.

A área dos triângulos congruentes AMN e A'MN é igual a \frac{10 \times 5}{2} = 25.

Dada a simetria de 180^\circ da figura, concluímos que a área dos triângulos CPQ e C'PQ também é 25. Consequentemente, a área da região colorida visível é igual à área da folha menos quatro vezes a área do triângulo AMN, ou seja, igual a 10 \times 20 - 4 \times 25 = 200 - 100 = 100\text{ cm}^2.

[Figura: Dois diagramas ilustrando o retângulo ABCD dobrado nos vértices A e C, com as dobras definidas pelos segmentos MN e PQ, indicando os pontos A', C' e as interseções e perpendiculares R, S, T em relação à diagonal BD]

Solução usando semelhança de triângulos:
Como MN é paralela a BD, concluímos que os triângulos AMN e ADB são semelhantes, de alturas homólogas AS e AA'. Pela dobra temos AA' = 2AS, logo a área do triângulo ABD é 4 vezes a área do triângulo AMN. Como a área do triângulo ABD é metade da área da folha, isto é, 100\text{ cm}^2, a área do triângulo AMN é 25\text{ cm}^2. Novamente, a área da região colorida visível é igual à área da folha menos quatro vezes a área do triângulo AMN, ou seja, igual a 10 \times 20 - 4 \times 25 = 200 - 100 = 100\text{ cm}^2.

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Resolução comentada

Quando dobramos o vértice A sobre a diagonal BD, o triângulo que gira fica por cima da folha e mostra o verso branco. O mesmo acontece com C. A parte colorida visível é o que sobra da folha, descontando as regiões cobertas.\n\nO retângulo mede 10\times 20, então sua área é 200\ \text{cm}^2.\n\nA diagonal BD divide o retângulo em dois triângulos de área 100\ \text{cm}^2 cada. Cada dobra é paralela a BD e leva o vértice (A ou C) exatamente até BD. A dobra fica então na metade da distância entre o vértice e a diagonal.\n\n1. O triângulo cortado pela dobra é semelhante ao triângulo ABD, com razão \tfrac12, porque sua altura até o vértice é metade da altura total.\n2. Sua área é \tfrac14\cdot 100 = 25\ \text{cm}^2. O mesmo vale para o lado de C.\n3. Após dobrar, cada triângulo de 25\ \text{cm}^2 fica sobre a folha e aparece branco, sem sair da região do retângulo. Ele cobre uma parte de área 25 da faixa que fica no meio, entre as dobras.\n4. A face colorida perde então os 25 de cada triângulo que foram dobrados, e perde mais 25 de cada lado que foi coberto pelo verso branco.\n\nÁrea colorida visível: 200 - 2\cdot 25 \text{ (parte dobrada)} - 2\cdot 25 \text{ (parte coberta)} = 100\ \text{cm}^2.\n\nAlternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

Aconsidera só a área de um triângulo dobrado, 25\ \text{cm}^2.
Bconsidera só a área dos dois triângulos dobrados, sem descontar a parte coberta.
Cdesconta só três dos quatro triângulos de 25\ \text{cm}^2.
Edesconta apenas 75\ \text{cm}^2 da área total e erra a contagem das partes cobertas.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Transformações geométricas e localização.

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Questão 7 no caderno Nível 2 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 2. Prova oficial ↗