Questão 6 (Nível 2) da OBMEP 2022

Question

Júlia escreveu os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 em um tabuleiro 3 \times 3, sem repetições, e observou que a soma dos números em cada um dos seus quatro subtabuleiros 2 \times 2 era igual a 20. Os números 7 e 5 foram escritos como na figura abaixo. Qual é o número que foi escrito na casa destacada na cor cinza?

Tabuleiro 3 por 3 com o número 7 no canto superior esquerdo, o número 5 no centro e a casa no canto inferior direito sombreada de cinza

A
1
B
3
C
4
D
8
E
9

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 2) da OBMEP 2022

Nível 2 · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

Júlia escreveu os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 em um tabuleiro 3 \times 3, sem repetições, e observou que a soma dos números em cada um dos seus quatro subtabuleiros 2 \times 2 era igual a 20. Os números 7 e 5 foram escritos como na figura abaixo. Qual é o número que foi escrito na casa destacada na cor cinza?

Tabuleiro 3 por 3 com o número 7 no canto superior esquerdo, o número 5 no centro e a casa no canto inferior direito sombreada de cinza

A
1
B
3
C
4
D
8
E
9

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Considere as letras A, B, C, D, E, F e X representando os valores desconhecidos da tabela.

7	A	B
C	5	D
E	F	X

No tabuleiro 2 \times 2 superior esquerdo, temos que 7 + A + C + 5 = 20. Logo, A + C = 8. Assim, as possibilidades são (A = 1, C = 7), (A = 2, C = 6), (A = 3, C = 5), (A = 4, C = 4) e os casos simétricos. Porém, os casos (A = 1, C = 7), (A = 3, C = 5) e (A = 4, C = 4) são descartados, pois não é permitido repetir números na tabela. Assim, A e C são 2 e 6 em alguma ordem. Em qualquer caso A + C = 8.
Somando-se todos os elementos dos subtabuleiros superiores com os elementos do subtabuleiro inferior esquerdo, temos:
(7 + A + 5 + C) + (A + B + 5 + D) + (C + 5 + E + F) = 20 + 20 + 20 = 60.

Logo, 22 + 2(A + C) + B + D + E + F = 60, ou seja, B + D + E + F = 22.

Veja que a soma de todos os elementos do tabuleiro é igual a 1 + 2 + 3 + \dots + 9 = 45. Por outro lado, a soma de todos elementos, exceto X é: (7 + 5) + (A + C) + (B + D + E + F) = 12 + 8 + 22 = 42.

Logo, o número que ocupa o quadrado cinza é 45 - 42 = 3.

Observe o preenchimento:

7	2	9
6	5	4
1	8	3

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Chame as casas de a b c (linha de cima), d e f (meio) e g h i (baixo). Pela figura, a=7, e=5 e a casa cinza é i.

Os quatro subtabuleiros 2\times2 somam 20 cada, então a soma total deles é 4\cdot 20 = 80.

Nessa soma, cada casa é contada assim:

o centro e aparece nos 4 subtabuleiros;
as casas do meio das bordas (b, d, f, h) aparecem em 2;
os cantos (a, c, g, i) aparecem em 1.

Logo:

(a+c+g+i) + 2(b+d+f+h) + 4e = 80.

A soma de todos os números é 1+2+\dots+9 = 45, isto é, (a+c+g+i)+(b+d+f+h)+e=45.

Subtraindo essa igualdade da anterior:

(b+d+f+h) + 3e = 35.

Como e=5: b+d+f+h = 35-15 = 20.

Assim os cantos somam 45-20-5=20, ou seja, 7+c+g+i=20 e c+g+i=13.

Sobram para as casas b,d,f,h,c,g,i os números 1,2,3,4,6,8,9. Três deles somam 13 e quatro somam 20 (total 33). Opções para três números somando 13: \{1,3,9\}, \{1,4,8\}, \{3,4,6\}, \{2,3,8\}, \{1,\ldots\} etc. Use os subtabuleiros: o superior esquerdo dá 7+b+d+5=20, então b+d=8, com números de \{1,2,3,4,6,8,9\}: \{2,6\}. Então b,d\in\{2,6\}.

Restam 1,3,4,8,9 para c,f,g,h,i, com f+h=20-8=12: \{3,9\} ou \{4,8\}.

Subtabuleiro inferior direito: 5+f+h+i=20, então i=15-12=3.

Conferindo: f,h=4,8 e i=3, restando c,g=1,9 — consistente.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AO número 1 fica em um dos outros cantos (c ou g), não no canto cinza.
CO 4 é uma das casas f ou h, vizinhas do canto cinza.
DO 8 é uma das casas f ou h, vizinhas do canto cinza.
EO 9 fica em outro canto (c ou g); em i daria 5+f+h+9=20 e f+h=6, impossível com os números restantes.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 6 no caderno Nível 2 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 2. Prova oficial ↗