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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Nível 2) da OBMEP 2022

Nível 2 · Matemática: Equações do 1º grau e problemas

Uma prova é formada por 45 questões de múltipla escolha. Cada resposta correta vale 1 ponto e para cada resposta errada desconta-se 0{,}25 ponto; questões não respondidas não são pontuadas. Um estudante obteve 28 pontos nessa prova. Qual é o número máximo de questões que ele pode ter acertado?

  1. A
    28
  2. B
    29
  3. C
    30
  4. D
    31
  5. E
    32
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Resolução comentada

Resolução comentada

Sejam a o número de acertos e e o número de erros. Cada acerto vale 1 ponto e cada erro tira 0{,}25, então:

a - 0{,}25e = 28

Multiplicando por 4 para eliminar o decimal:

4a - e = 112 \Rightarrow e = 4a - 112

Restrições: e \geq 0 e a + e \leq 45, porque há questões que podem ficar em branco.

  1. Substituindo e na segunda condição: a + 4a - 112 \leq 45.
  2. Então 5a \leq 157, ou seja, a \leq 31{,}4.
  3. Como a é inteiro, a \leq 31.

Conferindo a = 31: e = 4\cdot 31 - 112 = 12. Total respondido: 31 + 12 = 43 \leq 45, com 2 questões em branco. Pontos: 31 - 12\cdot 0{,}25 = 31 - 3 = 28. Funciona.

Com a = 32 teríamos e = 16 e 32 + 16 = 48 > 45, impossível.

O máximo de acertos é 31.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A28 é a pontuação, não o máximo de acertos; ignora que erros descontam e que mais acertos são possíveis.
  • B29 é possível (e = 4), mas não é o máximo.
  • C30 é possível (e = 8), mas não é o máximo.
  • E32 exigiria 16 erros, somando 48 questões respondidas, mais que as 45 da prova.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

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Ver como caiu na prova Questão 8 no caderno Nível 2 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 2. Prova oficial ↗