Questão 20 (Nível 2) da OBMEP 2022

Question

Qual é o algarismo das unidades do menor inteiro positivo par cuja soma dos seus algarismos é igual a 2026?

A
0
B
2
C
4
D
6
E
8

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 2) da OBMEP 2022

Nível 2 · Matemática: Sistemas de numeração

Qual é o algarismo das unidades do menor inteiro positivo par cuja soma dos seus algarismos é igual a 2026?

A
0
B
2
C
4
D
6
E
8

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Para facilitar a exposição, vamos chamar números pares positivos com soma de algarismos igual a 2026 de números legais. Observamos primeiro que números legais existem: por exemplo, o número que se escreve como 2026 algarismos 1 seguidos do algarismo 0 nas unidades; logo, existe o menor número legal, que é o que estamos procurando.

Seja n o número de algarismos de um número legal. A maior soma possível dos algarismos de um número de n algarismos é 9n; logo, 9n \ge 2026, ou seja, n \ge \frac{2026}{9} > 225. Em outras palavras, qualquer número legal tem pelo menos 226 algarismos. Observamos que números legais com exatamente 226 algarismos existem; por exemplo, 2 seguido de 224 algarismos 9 seguido de 8 é legal. Logo, o menor número legal tem 226 algarismos.

Como 2026 = 225 \times 9 + 1, vemos que o primeiro algarismo à esquerda de um número legal com 226 algarismos não pode ser 1, pois, nesse caso, todos seus outros algarismos seriam 9 e ele seria ímpar. O exemplo já citado

[Figura: Esquema do número 2 9 9 9 9 ... 9 9 8 com uma chave inferior agrupando a sequência de algarismos 9 com a legenda "224 algarismos 9"]

nos mostra, por outro lado, que existem números legais com 226 algarismos que têm 2 como seu primeiro algarismo à esquerda. Observamos agora que qualquer número dessa forma é escrito com mais 224 algarismos 9 e um algarismo 8; de fato, se esse número tivesse no máximo 223 algarismos 9, a soma de seus algarismos não poderia exceder 223 \times 9 + 2 + 8 + 8 = 2025. Assim, o menor número par que podemos escrever com essas condições é 2 seguido de 224 algarismos 9 seguido de 8 na casa das unidades, que é, então, o menor número legal, ou seja, é o exemplo anterior.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Para o número ser o menor possível, ele deve ter o menor número de algarismos. Depois, os algarismos mais significativos devem ser os menores possíveis, ou seja, os 9 devem ficar à direita.

Como cada algarismo vale no máximo 9, precisamos de pelo menos \lceil 2026/9 \rceil algarismos.

9 \times 225 = 2025 e 9 \times 226 = 2034, logo precisamos de pelo menos 226 algarismos.

Agora o número precisa ser par, então o último algarismo é par, no máximo 8.

Com 226 algarismos e último algarismo 8, os outros 225 somam no máximo 225 \times 9 = 2025. O total máximo é 2025 + 8 = 2033 \ge 2026, então é possível.
Para o menor número, queremos o último algarismo o maior possível (8), pois assim os demais ficam com soma menor e os 9 se acumulam à direita. Os 225 primeiros algarismos somam 2026 - 8 = 2018.
2018 = 9 \times 224 + 2. Então os 225 algarismos são: 2, seguido de 224 noves. O número é 2\underbrace{99\ldots9}_{224}8.

Conferindo: com último algarismo 6, os outros somariam 2020 =9\times224+4, e o primeiro algarismo seria 4, que é maior que 2. Logo o número com final 8 é menor.

O algarismo das unidades é 8.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

ATerminar em 0 obriga os outros algarismos a somarem 2026, o que dá primeiro algarismo maior e número maior.
BFinal 2 deixa soma 2024 nos demais, primeiro algarismo 8, número maior.
CFinal 4 deixa soma 2022, primeiro algarismo 6, número maior.
DFinal 6 deixa soma 2020, primeiro algarismo 4, ainda maior que o começo 2 obtido com final 8.

Assuntos: Sistemas de numeração, Divisibilidade, MMC e MDC.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 20 no caderno Nível 2 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 2. Prova oficial ↗