Questão 19 (Nível 2) da OBMEP 2022

Question

parcialmente sobrepostos. A interseção desses quadrados, com contorno preto, tem área 18\ \text{cm}^2 e perímetro 20\ \text{cm}. A união desses quadrados, com contorno vermelho, tem área 163\ \text{cm}^2 e perímetro 56\ \text{cm}. Qual é, em \text{cm}^2, a diferença entre as áreas dos dois quadrados?

Dois quadrados parcialmente sobrepostos com a região de interseção hachurada em cinza e contorno preto, e o contorno da união destacado em vermelho

A
1
B
4
C
10
D
15
E
19

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Nível 2) da OBMEP 2022

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

parcialmente sobrepostos. A interseção desses quadrados, com contorno preto, tem área 18\ \text{cm}^2 e perímetro 20\ \text{cm}. A união desses quadrados, com contorno vermelho, tem área 163\ \text{cm}^2 e perímetro 56\ \text{cm}. Qual é, em \text{cm}^2, a diferença entre as áreas dos dois quadrados?

Dois quadrados parcialmente sobrepostos com a região de interseção hachurada em cinza e contorno preto, e o contorno da união destacado em vermelho

A
1
B
4
C
10
D
15
E
19

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Na figura abaixo, m e n são os comprimentos dos lados dos quadrados e x, y, z e w os comprimentos dos segmentos determinados pelas interseções entre eles.

[Figura: Dois quadrados que se sobrepõem, com a região de interseção sombreada de cinza. O quadrado à esquerda tem o lado superior com rótulo m. O quadrado à direita está inclinado e tem o lado superior direito com rótulo n. A região de interseção é delimitada pelos segmentos x no topo, y à esquerda, z à direita (sobre o lado direito do quadrado da esquerda) e w na parte inferior.]

Como o perímetro da figura inteira (contorno vermelho) é 56 e o da interseção (contorno preto) é 20, temos (4m - z - w) + (4n - x - y) = 56 e 4(m + n) = 56 + (x + y + z + w) = 76, ou seja, m + n = 19.

Dado que a área da interseção é 18, temos m^2 + n^2 - 18 = 163, ou seja, m^2 + n^2 = 181. Daí, 2mn = (m + n)^2 - (m^2 + n^2) = 19^2 - 181 = 180. A partir de 90 = mn = m(19 - m), podemos concluir que m é uma das raízes da equação do segundo grau m^2 - 19m + 90 = 0, que são 10 e 9.

Consequentemente, n = 19 - m = 9 ou 10. Finamente, a diferença entre as áreas dos quadrados é 10^2 - 9^2 = 19.

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Resolução comentada

Sejam a e b os lados dos quadrados. A área da união é a soma das áreas menos a da interseção:

a^2+b^2-18=163 \Rightarrow a^2+b^2=181.

Agora o perímetro. O contorno da união é formado por partes dos perímetros dos quadrados, e o contorno da interseção é formado pelas partes restantes dos dois perímetros, as que ficam dentro do outro quadrado. Logo:

4a+4b = \text{perímetro da união} + \text{perímetro da interseção} = 56+20=76.

Assim, a+b=19.

Usando (a+b)^2=a^2+b^2+2ab:

361 = 181 + 2ab
ab = 90

Para a diferença dos lados:

(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab = 181-180 = 1 \Rightarrow a-b=1.

Logo a=10 e b=9 (confere: 10\cdot 9=90).

A diferença entre as áreas é

a^2-b^2=(a-b)(a+b)=1\cdot 19=19\ \text{cm}^2.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa A engana porque a-b=1 aparece no meio da resolução, mas a pergunta é pela diferença das áreas, que é 19.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConfunde a diferença entre os lados (a-b=1) com a diferença entre as áreas.
BNão corresponde a nenhum resultado das equações; valor sem base no cálculo.
CValor sem relação com (a-b)(a+b); erro de conta no sistema.
DNão decorre de a^2-b^2=19; resultado de erro no uso do perímetro.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 19 no caderno Nível 2 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 2. Prova oficial ↗