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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 1) da OBMEP 2022

Nível 1 · Matemática: Conceito de função, composta e inversa

A calculadora de Raul possui duas teclas especiais. Uma delas é a T, que triplica o número que está no visor. A outra é a A, que apaga a unidade do número que está no visor (se o número possuir apenas um algarismo, a tecla A não faz nada). Por exemplo, se o número 5 estiver no visor e as teclas T e A forem apertadas, nessa ordem, aparecerá o número 1 no visor. Quantos números podem estar inicialmente no visor de modo que, após Raul apertar as teclas T, A, T e A, nessa ordem, apareça o número 78 como resultado final?

Ilustração de uma calculadora com visor e teclas numéricas, destacando as teclas com as letras A e T

  1. A
    4
  2. B
    13
  3. C
    26
  4. D
    100
  5. E
    234
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Resolução comentada

Resolução comentada

Vamos trabalhar de trás para frente, desfazendo cada tecla.

Tecla A (apaga a unidade): é o mesmo que pegar o quociente da divisão por 10. Para desfazê-la, o número anterior era o atual com um algarismo qualquer (0 a 9) colocado no fim.

Tecla T: triplica. Para desfazê-la, dividimos por 3, e o número anterior precisa ser múltiplo de 3.

A sequência é T, A, T, A, com resultado final 78.

  1. Antes do último A: o número tem a forma 78d, de 780 a 789.
  2. Antes do último T, ele é o triplo de um número, logo é múltiplo de 3. Entre 780 e 789, os múltiplos de 3 são 780, 783, 786 e 789. Dividindo por 3, obtemos 260, 261, 262 e 263.
  3. Antes do primeiro A, esses números ganham um algarismo no fim: 260 vira 260d, de 2600 a 2609, e assim por diante. São 4 grupos de 10 números, de 2600 a 2639, ou seja, 40 números.
  4. Antes do primeiro T, o número é um terço desses valores, então eles precisam ser múltiplos de 3. Entre 2600 e 2639, os múltiplos de 3 vão de 2601 a 2637: (2637-2601)/3+1=13 números.

Cada múltiplo de 3 corresponde a exatamente um número inicial (o quociente por 3), e todos são distintos. Logo, há 13 números iniciais possíveis, de 867 a 879.

Conferindo: 867 → T → 2601 → A → 260 → T → 780 → A → 78. ✓

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConta só os quatro múltiplos de 3 entre 780 e 789, esquecendo o dígito apagado no primeiro A.
  • CNão tem base na contagem; dobra o resultado correto sem justificativa.
  • DNão tem base na contagem correta dos múltiplos de 3.
  • ENão tem base na contagem correta dos múltiplos de 3.

Assuntos: Conceito de função, composta e inversa, Equações do 1º grau e problemas.

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Ver como caiu na prova Questão 20 no caderno Nível 1 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 1. Prova oficial ↗