Questão 1 (Nível 2) da OBMEP 2022

Resolução comentada

As vagas ocupadas são as de número ímpar entre 1 e 99. Precisamos contar quantos ímpares existem nesse intervalo.

1. Entre 1 e 99 há 99 números no total.
2. Os números pares são 2, 4, 6, \ldots, 98. Como cada par é o dobro de um número de 1 a 49, há 98 \div 2 = 49 pares.
3. Os ímpares são os que sobram: 99 - 49 = 50.

Conferindo de outro modo: os ímpares formam a sequência 1, 3, 5, \ldots, 99, uma progressão aritmética de razão 2. O número de termos é

O "+1" aparece porque o primeiro termo (o 1) também precisa ser contado.

Portanto, 50 vagas estão ocupadas.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana: 49 é a quantidade de pares, ou o resultado de (99-1)/2 sem somar 1, e esse erro de contagem é comum.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem justificativa, abaixo da quantidade real de ímpares.
• BConta os números pares (49) ou esquece o "+1" ao contar os termos da sequência.
• DValor sem justificativa, acima da quantidade real de ímpares.
• EConfunde com o maior número par (98), sem contar os ímpares.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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