Questão 2 (Nível 2) da OBMEP 2022

Question

Em cada partida de um jogo disputado por dois jogadores, há sempre um vencedor, ou seja, não há empates. Cada jogador começa o jogo com 100 pontos. Quem vence uma partida soma 5 a seus pontos, e quem perde uma partida subtrai 2 de seus pontos. O jogo termina quando a soma dos pontos dos dois jogadores passar de 300. Após o encerramento do jogo, quantas partidas foram realizadas?

A
20
B
32
C
33
D
34
E
50

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 2) da OBMEP 2022

Nível 2 · Matemática: Progressão aritmética

Em cada partida de um jogo disputado por dois jogadores, há sempre um vencedor, ou seja, não há empates. Cada jogador começa o jogo com 100 pontos. Quem vence uma partida soma 5 a seus pontos, e quem perde uma partida subtrai 2 de seus pontos. O jogo termina quando a soma dos pontos dos dois jogadores passar de 300. Após o encerramento do jogo, quantas partidas foram realizadas?

A
20
B
32
C
33
D
34
E
50

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Resolução comentada

Cada jogador começa com 100 pontos, então a soma inicial é 100 + 100 = 200.

Em cada partida, o vencedor ganha 5 e o perdedor perde 2. A soma dos pontos dos dois muda, portanto, em 5 - 2 = 3 pontos por partida, qualquer que seja o vencedor.

Depois de n partidas, a soma é:

200 + 3n

O jogo termina quando essa soma passa de 300, isto é, quando:

200 + 3n > 300 \Rightarrow 3n > 100 \Rightarrow n > 33{,}33\ldots

Como n é inteiro, o menor valor possível é n = 34.

Conferindo:

Com 33 partidas, a soma é 200 + 99 = 299, que ainda não passa de 300, então o jogo continua.
Com 34 partidas, a soma é 200 + 102 = 302, que passa de 300, então o jogo termina.

Portanto, foram realizadas 34 partidas.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem divide 100 por 3, obtém 33,3 e esquece que a soma precisa passar de 300, o que exige arredondar para cima.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão tem base no cálculo; a soma após 20 partidas seria só 260.
BCom 32 partidas a soma é 296, ainda abaixo de 300.
CArredonda 33,33 para baixo, mas com 33 partidas a soma é 299, que não passa de 300.
ECom 50 partidas a soma seria 350; o jogo teria acabado bem antes.

Assunto: Progressão aritmética.

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Questão 2 no caderno Nível 2 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 2. Prova oficial ↗