Questão 19 (Nível 3) da OBMEP 2022

Question

O retângulo ABCD é formado pelos triângulos ABP, CQP, AQD e APQ. As áreas dos triângulos ABP, CQP e AQD são, respectivamente, 6, 5 e 2\text{ cm}^2. Qual é, em \text{cm}^2, a área do triângulo APQ?

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Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Nível 3) da OBMEP 2022

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

O retângulo ABCD é formado pelos triângulos ABP, CQP, AQD e APQ. As áreas dos triângulos ABP, CQP e AQD são, respectivamente, 6, 5 e 2\text{ cm}^2. Qual é, em \text{cm}^2, a área do triângulo APQ?

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Solução oficial da OBMEP

[Figura: Retângulo ABCD com um ponto P sobre o lado BC e um ponto Q sobre o lado CD. O triângulo APQ está sombreado em cinza, delimitando no retângulo outros três triângulos com suas respectivas áreas indicadas: o triângulo ABP com área 6, o triângulo AQD com área 2 e o triângulo PCQ com área 5.]

Se AD = BC = x e AB = CD = y, temos que a área do triângulo ABP = \frac{AB \times BP}{2} = 6, logo, BP = \frac{12}{y}. Assim, PC = BC - BP = x - \frac{12}{y}.

Temos também que a área do triângulo AQD é 2: \frac{AD \times DQ}{2} = 2, logo, DQ = \frac{4}{x} e QC = DC - DQ = y - \frac{4}{x}.

Assim, a área do triângulo PCQ é \frac{PC \times QC}{2} = 5. Usando-se as igualdades já encontradas,

\left(x - \frac{12}{y}\right)\left(y - \frac{4}{x}\right) = 10

Desenvolvendo-se, (xy)^2 - 26xy + 48 = 0. Essa última equação tem como raízes xy = \frac{26 \pm 22}{2}

Como xy é a área do quadrilátero ABCD, a única raiz que interessa é xy = 24; logo, a área do triângulo APQ é igual a 24 - (6 + 5 + 2) = 11.

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Resolução comentada

Sejam AB = a (base) e AD = b (altura) do retângulo. P está em BC e Q está em CD. Chame BP = x, então PC = b-x. Chame DQ = y, então QC = a-y.

Cada triângulo é retângulo, então a área é metade do produto dos catetos:

ABP: \frac{a\cdot x}{2}=6 \Rightarrow ax=12.
AQD: \frac{b\cdot y}{2}=2 \Rightarrow by=4.
CQP: \frac{(a-y)(b-x)}{2}=5 \Rightarrow (a-y)(b-x)=10.

Desenvolvendo a terceira equação:

ab - ax - by + xy = 10 \Rightarrow ab - 12 - 4 + xy = 10 \Rightarrow ab + xy = 26.

Precisamos de mais uma relação. Multiplicando ax=12 por by=4:

ab\cdot xy = 48.

Sejam S=ab e T=xy. Então S+T=26 e ST=48. As raízes de t^2-26t+48=0 são t=\frac{26\pm\sqrt{676-192}}{2}=\frac{26\pm 22}{2}, ou seja, 24 e 2.

Como ab é a área do retângulo e deve ser maior que 6+5+2=13, temos ab=24.

A área de APQ é a do retângulo menos os três triângulos:

24-(6+5+2)=24-13=11.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem base nas relações; ignora que a área do retângulo é 24.
BResultado de usar uma área total errada (21) para o retângulo.
CCorresponde a uma área total de 22, que não satisfaz o sistema.
DCorresponde a uma área total de 23, que não satisfaz o sistema.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 19 no caderno Nível 3 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 3. Prova oficial ↗