Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2022

Question

Sejam a e b inteiros positivos tais que a + 2 é múltiplo de b e b + 2 é múltiplo de a. Qual é o maior valor possível para a + b?

A
2
B
4
C
6
D
10
E
14

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2022

Nível 3 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Sejam a e b inteiros positivos tais que a + 2 é múltiplo de b e b + 2 é múltiplo de a. Qual é o maior valor possível para a + b?

A
2
B
4
C
6
D
10
E
14

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Vamos encontrar todos os pares de números inteiros positivos a e b para os quais sejam cumpridas as condições do enunciado. Como a + 2 é múltiplo de b, temos b \le a + 2; como b + 2 é múltiplo de a, temos a \le b + 2. Portanto, a diferença b - a só pode variar entre -2 e 2. Pela simetria entre a e b, basta examinar os casos em que a diferença b - a é igual a 0, 1 ou 2 (os casos em que a diferença é igual a -1 ou -2 dão origem às mesmas soluções que os casos em que é igual a 1 ou 2, com os valores de a e b trocados).

Caso b - a = 0:

Neste caso, a + 2 é múltiplo de a, o que equivale a dizer que 2 é múltiplo de a. Logo, a pode ser 1 ou 2, o que fornece as soluções a = b = 1 e a = b = 2.

Caso b - a = 1:

Neste caso, b = a + 1. Em consequência, a + 2 deve ser múltiplo de a + 1. Como a + 2 = (a + 1) + 1, isto implica que 1 seja múltiplo de a + 1. Como a é positivo, essa hipótese é impossível e, portanto, não há soluções neste caso.

Caso b - a = 2.

Neste caso, b = a + 2 e as condições a serem satisfeitas são de que a + 2 = b seja múltiplo de b (o que é sempre verdade) e de que b + 2 = a + 4 seja múltiplo de a. Para que isso aconteça, 4 deve ser múltiplo de a ou, equivalentemente, a deve ser um divisor de 4. Logo, temos as possibilidades a = 1, b = 3; a = 2, b = 4; e a = 4, b = 6.

Como no caso b - a = 1, não há soluções para o caso b - a = -1. As soluções para o caso b - a = -2 são as mesmas do caso b - a = 2, com a e b trocados: a = 3, b = 1; a = 4, b = 2; e a = 6, b = 4.

O maior valor de a + b ocorre nas soluções a = 4, b = 6 e a = 6, b = 4, para as quais a + b = 10.

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Resolução comentada

Se b \mid a+2 e a \mid b+2, podemos supor sem perder generalidade a \le b.

Como a \mid b+2, temos b+2 = ka. Como b \mid a+2 e a+2 \le b+2, a divisão a+2 = mb exige m \ge 1. Vamos testar os casos.

Se b \ge a+3, então a+2 < b e b não divide a+2 (que é positivo). Impossível. Logo b \le a+2, ou seja, b \in \{a, a+1, a+2\}.
b=a: a \mid a+2 implica a \mid 2, então a=1 ou a=2. Soma: 2 ou 4.
b=a+1: a+1 \mid a+2 implica a+1 \mid 1, impossível para a positivo.
b=a+2: b \mid a+2 vale sempre. Falta a \mid b+2 = a+4, ou seja, a \mid 4, então a=1, 2 ou 4.
- a=1, b=3: soma 4.
- a=2, b=4: soma 6.
- a=4, b=6: soma 10. Conferindo: 4+2=6 é múltiplo de 6; 6+2=8 é múltiplo de 4. Vale.

O maior valor de a+b é 10. O valor 14 exigiria, por exemplo, a=6, b=8, mas 6 \nmid 10.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AÉ a soma de a=b=1, o menor caso, não o maior.
BCorresponde a a=b=2 ou (1,3), mas há pares com soma maior.
CVem do par (2,4), esquecendo o par (4,6).
ENão existe par que satisfaça as duas condições com soma 14, pois a \mid a+4 exige a\in\{1,2,4\}.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 18 no caderno Nível 3 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 3. Prova oficial ↗