Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2022

Question

Dois reservatórios, ligados por um fino tubo em sua parte inferior, contêm o mesmo volume de água, com diferentes alturas, conforme mostrado na Figura 1. Abrindo-se a torneira do tubo, a água escoa, de modo que as alturas das colunas de água se tornem iguais. O nível de água do reservatório esquerdo baixa x\text{ cm} e o nível de água do reservatório direito sobe y\text{ cm}, conforme indicado na Figura 2. Qual é a altura h, em \text{cm}, da água em equilíbrio?

A
\dfrac{2xy}{x + y}
B
\dfrac{x + y}{2}
C
\sqrt{xy}
D
\dfrac{x + y}{xy}
E
\dfrac{2xy}{x - y}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2022

Nível 3 · Matemática: Cilindro

Dois reservatórios, ligados por um fino tubo em sua parte inferior, contêm o mesmo volume de água, com diferentes alturas, conforme mostrado na Figura 1. Abrindo-se a torneira do tubo, a água escoa, de modo que as alturas das colunas de água se tornem iguais. O nível de água do reservatório esquerdo baixa x\text{ cm} e o nível de água do reservatório direito sobe y\text{ cm}, conforme indicado na Figura 2. Qual é a altura h, em \text{cm}, da água em equilíbrio?

A
\dfrac{2xy}{x + y}
B
\dfrac{x + y}{2}
C
\sqrt{xy}
D
\dfrac{x + y}{xy}
E
\dfrac{2xy}{x - y}

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Solução oficial da OBMEP

[Figura: Dois pares de reservatórios cilíndricos conectados na base por um tubo com torneira. A "Figura 1" mostra o reservatório mais estreito com nível mais alto e o mais largo com nível mais baixo. A "Figura 2" mostra a situação após a passagem de água, indicando a descida x no primeiro reservatório, a subida y no segundo reservatório e a diferença de altura h entre o nível final do primeiro e o nível inicial do segundo.]

Chamaremos de A_1 e A_2 as áreas das bases dos dois reservatórios.

Como na Figura 1 os dois reservatórios têm o mesmo volume, então:

A_1 \times (h + x) = A_2 \times (h - y)

Como toda água que sai de um reservatório vai para o outro, o volume do líquido que desce em um reservatório é igual ao volume do líquido que sobe no outro:

A_1 \times x = A_2 \times y

Dividindo-se as duas equações, desaparecem as áreas A_1 e A_2 e obtém-se uma relação entre h, x e y:

\frac{h + x}{x} = \frac{h - y}{y} \Rightarrow hy + xy = hx - xy \Rightarrow h(x - y) = 2xy \Rightarrow h = \frac{2xy}{x - y}

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Resolução comentada

Cada reservatório é um cilindro, então o volume de água é (área da base) × (altura). Sejam A a área da base do reservatório esquerdo e B a do direito. Na Figura 1, as alturas são h+x (esquerdo) e h-y (direito).

Os volumes iniciais são iguais: A(h+x)=B(h-y).
A água que sai do esquerdo é a que entra no direito: A\,x = B\,y. Isso é coerente com o item 1, pois os dois volumes iniciais são iguais e o total se conserva.
Da relação do item 2: \dfrac{A}{B}=\dfrac{y}{x}.
Do item 1: \dfrac{A}{B}=\dfrac{h-y}{h+x}.
Igualando: \dfrac{y}{x}=\dfrac{h-y}{h+x}.
Multiplicando em cruz: y(h+x)=x(h-y), ou seja, yh+xy=xh-xy.
Isolando h: 2xy = h(x-y), logo h=\dfrac{2xy}{x-y}.

Como o reservatório esquerdo é mais estreito, ele baixa mais: x>y, então x-y>0 e h é positivo, como deveria.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

ATroca o sinal no denominador: seria x+y em vez de x-y, o que vem de somar em vez de subtrair ao isolar h.
BA média de x e y não tem relação com a conservação de volume e ignora as áreas diferentes.
CA média geométrica não surge de nenhuma relação do problema.
DNão tem dimensão de comprimento e não vem da equação de volumes.

Assunto: Cilindro.

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Questão 20 no caderno Nível 3 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 3. Prova oficial ↗