Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2022

Question

A figura mostra três circunferências de centros O, P e Q, cada uma tangente às outras nos pontos A, B e C, como indicado. O diâmetro AD da circunferência de centro O tangencia a circunferência de centro Q em E. Os raios das circunferências de centro O e de centro P medem, respectivamente, 1 e 2/3. Qual é o raio da circunferência de centro Q?

A
1/5
B
6/25
C
7/25
D
8/25
E
9/25

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2022

Nível 3 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

A figura mostra três circunferências de centros O, P e Q, cada uma tangente às outras nos pontos A, B e C, como indicado. O diâmetro AD da circunferência de centro O tangencia a circunferência de centro Q em E. Os raios das circunferências de centro O e de centro P medem, respectivamente, 1 e 2/3. Qual é o raio da circunferência de centro Q?

A
1/5
B
6/25
C
7/25
D
8/25
E
9/25

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Lembramos que, se duas circunferências são tangentes, então seus centros e o ponto de tangência estão alinhados, bem como que uma tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio correspondente no ponto de contato. No nosso caso, isso quer dizer que os triângulos OEQ e PEQ são retângulos. Se o raio procurado QE é denotado por x, então OQ = OC - QC = 1 - x e PQ = PB + BQ = \frac{2}{3} + x

[Figura: Esquema geométrico mostrando circunferências tangentes com os pontos A e P indicados sobre uma linha horizontal.]

O teorema de Pitágoras aplicado aos triângulos OEQ e PEQ nos dá, respectivamente, OE = \sqrt{1 - 2x} e PE = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{3}x}

PE - OE = OP = OA - PA = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

e segue que

\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{3}x} - \sqrt{1 - 2x} = \frac{1}{3}.

Um pouco de álgebra transforma essa expressão em 25x^2 - 8x=0.

De fato,

\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{3}x} = \frac{1}{3} + \sqrt{1 - 2x} \to \frac{4}{9} + \frac{4}{3}x = \frac{1}{9} + \frac{2}{3}\sqrt{1 - 2x} + 1 - 2x \to -6 + 30x = 6\sqrt{1 - 2x}

Logo, \sqrt{1 - 2x} = -1 + 5x e, portanto, 25x^2 - 8x = 0.

Descartamos a raiz estranha x = 0 e chegamos a x = \frac{8}{25}.

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Resolução comentada

Coloque O na origem, com AD sobre o eixo horizontal. Então A=(-1,0), D=(1,0) e, como o raio de P é 2/3 e a circunferência é tangente em A, P=(-1/3,0).

Seja r o raio de Q. Como Q tangencia o diâmetro em E, sua altura é r: Q=(x,r), com x>0.

As tangências dão duas condições:

Tangência interna com a circunferência maior: OQ = 1-r, logo x^2+r^2=(1-r)^2, ou seja, x^2=1-2r.
Tangência externa com a circunferência de centro P: PQ=\frac23+r, logo \left(x+\frac13\right)^2+r^2=\left(\frac23+r\right)^2.

Desenvolvendo a segunda: x^2+\frac{2x}{3}+\frac19+r^2=\frac49+\frac{4r}{3}+r^2, e daí x^2+\frac{2x}{3}=\frac13+\frac{4r}{3}.

Substituindo x^2=1-2r:

1-2r+\frac{2x}{3}=\frac13+\frac{4r}{3}\Rightarrow \frac{2x}{3}=\frac{10r}{3}-\frac23\Rightarrow x=5r-1.

Voltando em x^2=1-2r:

(5r-1)^2=1-2r\Rightarrow 25r^2-10r+1=1-2r\Rightarrow 25r^2=8r\Rightarrow r=\frac{8}{25}.

Verificação: x=5\cdot\frac{8}{25}-1=\frac35>0, e x^2+r^2=\frac{9}{25}+\frac{64}{625}=\frac{289}{625}=\left(\frac{17}{25}\right)^2=(1-r)^2. Confere.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com as equações de tangência; não satisfaz 25r^2=8r.
BNão satisfaz 25r^2=8r; provável erro ao posicionar o centro P ou ao somar os raios.
CTambém não satisfaz a equação final; erro de conta ao combinar as duas condições de tangência.
ENão satisfaz a equação final; ignora que E está entre O e D e que x=5r-1.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 13 no caderno Nível 3 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 3. Prova oficial ↗