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Questão 12 (Nível 1) da OBMEP 2022

Nível 1 · Matemática: Sequências e padrões

Uma formiguinha passeia em uma malha formada por triângulos equiláteros de lado 1 cm, como na figura. Ela parte do ponto P para o ponto Q, e sempre que encontra um vértice da malha, muda de direção, fazendo um giro de 60^\circ. Ela repete sempre dois giros para a direita e um para a esquerda, percorrendo o caminho vermelho da figura. Em qual ponto da malha a formiguinha vai estar após percorrer 1000 cm?

Malha formada por triângulos equiláteros com os pontos A, B, C, D, E, P e Q assinalados nos vértices. Uma linha vermelha inicia em P, vai até Q e segue por arestas da malha, com arcos verdes e setas indicando os giros sucessivos (dois para a direita e um para a esquerda), passando pelo ponto D e terminando em um segmento tracejado.

  1. A
    A
  2. B
    B
  3. C
    C
  4. D
    D
  5. E
    E
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Resolução comentada

Resolução comentada

Cada trecho tem 1 cm, então em 1000 cm a formiguinha percorre 1000 trechos (o primeiro é P\to Q).

Direções dos trechos. Os giros se repetem na ordem D, D, E (direita, direita, esquerda). Saindo de P para a direita (leste), os trechos seguem as direções:

leste, sudeste, sudoeste, sudeste, sudoeste, oeste, sudoeste, oeste, noroeste, oeste, ...

A cada 3 giros (D, D, E) a direção gira -60^\circ no total. Depois de 6 blocos de 3 trechos, ou seja, 18 trechos, a direção volta à inicial. Os 6 blocos têm vetores girados de 60^\circ uns em relação aos outros, e a soma deles é nula. Logo, a cada 18 cm a formiguinha volta a P.

Quantos trechos sobram. Como 1000 = 18\cdot 55 + 10, após 990 cm ela está em P, e faltam 10 trechos.

Posição após 10 trechos. Tomo P=(0,0), com h a altura de um triângulo da malha. As coordenadas ficam:

  1. (1,0)
  2. (1{,}5;-h)
  3. (1;-2h)
  4. (1{,}5;-3h)
  5. (1;-4h), que é o ponto D
  6. (0;-4h)
  7. (-0{,}5;-5h)
  8. (-1{,}5;-5h)
  9. (-2;-4h)
  10. (-3;-4h)

O ponto (-3;-4h) está 3 cm à esquerda de P e 4 linhas abaixo dele. Na figura, é o ponto E, na mesma linha de D e 4 cm à sua esquerda.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AA fica na linha de P e Q, mas a formiguinha termina 4 linhas abaixo dela.
  • BB está a 2 linhas de P e muito à esquerda, sem relação com os 10 trechos restantes.
  • CC fica a 2 linhas abaixo de P, mas a formiguinha termina na 4ª linha abaixo.
  • DD é a posição após 5 trechos, e não após os 10 trechos restantes.

Assuntos: Sequências e padrões, Transformações geométricas e localização.

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Fonte: OBMEP 2022 · Nível 1. Prova oficial ↗