Questão 12 (Nível 2) da OBMEP 2022

Question

Na figura, ABCD é um quadrado e AGD, BEC e CDF são triângulos equiláteros. Quanto mede o ângulo GFE?

Quadrado ABCD com os triângulos equiláteros AGD e CDF no seu interior, e BEC no exterior à direita. Os segmentos tracejados FG e FE delimitam o ângulo GFE, preenchido na cor verde.

A
15^\circ
B
22{,}5^\circ
C
30^\circ
D
36^\circ
E
45^\circ

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 2) da OBMEP 2022

Nível 2 · Matemática: Ângulos, polígonos e quadriláteros

Na figura, ABCD é um quadrado e AGD, BEC e CDF são triângulos equiláteros. Quanto mede o ângulo GFE?

Quadrado ABCD com os triângulos equiláteros AGD e CDF no seu interior, e BEC no exterior à direita. Os segmentos tracejados FG e FE delimitam o ângulo GFE, preenchido na cor verde.

A
15^\circ
B
22{,}5^\circ
C
30^\circ
D
36^\circ
E
45^\circ

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Observemos primeiro os ângulos com vértice D. Como o triângulo DFC é equilátero, temos \widehat{CDF} = 60^\circ e, como \widehat{CDA} = 90^\circ, segue que \widehat{FDA} = 30^\circ. Analogamente temos \widehat{CDG} = 30^\circ e então \widehat{GDF} = 30^\circ. Passemos ao triângulo GDF. Ele é isósceles, pois DG = DF, e segue que \widehat{DFG} = \widehat{DGF} = 75^\circ. Logo \widehat{CFG} = \widehat{DFG} - \widehat{DFC} = 75^\circ - 60^\circ = 15^\circ.

Agora consideremos o triângulo CFE. Como acima, temos \widehat{BCF} = 30^\circ e segue que \widehat{ECF} = 90^\circ. Por outro lado, como CF = CE, esse triângulo também é isósceles, e temos, então, \widehat{CFE} = 45^\circ.

Finalmente, temos \widehat{GFE} = \widehat{CFE} - \widehat{CFG} = 45^\circ - 15^\circ = 30^\circ.

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Resolução comentada

Vamos usar coordenadas com o lado do quadrado igual a 2: D=(0,0), C=(2,0), A=(0,2), B=(2,2).

Triângulo CDF equilátero dentro do quadrado: F=(1,\sqrt3).
Triângulo AGD equilátero dentro do quadrado, com base AD vertical: G=(\sqrt3,1).
Triângulo BEC equilátero fora do quadrado, com base BC vertical: E=(2+\sqrt3,1).

Agora calculamos os vetores a partir de F:

\vec{FG}=(\sqrt3-1,\ 1-\sqrt3)=(\sqrt3-1)(1,-1)

Logo FG forma -45^\circ com a horizontal.

\vec{FE}=(1+\sqrt3,\ 1-\sqrt3)

Sua inclinação é \dfrac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3}. Multiplicando numerador e denominador por \sqrt3-1:

\frac{(1-\sqrt3)(\sqrt3-1)}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}=\frac{-(\sqrt3-1)^2}{2}=\frac{-(4-2\sqrt3)}{2}=\sqrt3-2

Esse valor é -\tg 15^\circ, pois \tg15^\circ=2-\sqrt3. Então FE forma -15^\circ com a horizontal.

O ângulo GFE é a diferença entre as duas direções:

45^\circ-15^\circ=30^\circ

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AÉ o ângulo de FE com a horizontal, e não o ângulo entre FG e FE.
BMetade de 45^\circ, sem base geométrica no problema.
DValor sem relação com os ângulos de 15^\circ, 45^\circ e 60^\circ da figura.
EÉ a inclinação de FG com a horizontal, esquecendo de descontar os 15^\circ de FE.

Assuntos: Ângulos, polígonos e quadriláteros, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 12 no caderno Nível 2 da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2022 · Nível 2. Prova oficial ↗