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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 2) da OBMEP 2019

Nível 2 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Uma festa de casamento será realizada em um salão que comporta no máximo 200 pessoas. O organizador sabe que, se distribuir 8 convidados por mesa, uma mesa ficará com apenas um convidado. O mesmo irá ocorrer se ele distribuir 6 ou 7 convidados por mesa. Se ele distribuir 9 convidados por mesa, uma mesa ficará com menos do que 9 pessoas. Quantas pessoas ficarão nessa mesa?

Ilustração de um amplo salão de festas com colunas clássicas, janelas altas, um grande lustre pendurado ao centro e mesas redondas com toalhas azuis e cadeiras ao redor.

  1. A
    2
  2. B
    3
  3. C
    4
  4. D
    6
  5. E
    7
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Resolução comentada

Resolução comentada

Seja N o número de convidados. Se uma mesa fica com apenas 1 convidado ao distribuir 6, 7 ou 8 por mesa, então N deixa resto 1 na divisão por 6, por 7 e por 8. Ou seja, N-1 é múltiplo de 6, 7 e 8.

  1. Calculamos o MMC: 6=2\cdot3, 7=7, 8=2^3, logo \text{mmc}(6,7,8)=2^3\cdot3\cdot7=168.
  2. Então N-1 é múltiplo de 168: N-1=168,\ 336,\dots
  3. O salão comporta no máximo 200 pessoas, então N-1=168 e N=169.
  4. Distribuindo 9 por mesa: 169=9\cdot18+7, pois 9\cdot18=162 e 169-162=7.

Portanto, a última mesa fica com 7 pessoas.

Conferindo: 169=6\cdot28+1, 169=7\cdot24+1 e 169=8\cdot21+1. Tudo certo.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde ao resto de 169 por 9, que é 7.
  • BNão corresponde ao resto de 169 por 9, que é 7.
  • CNão corresponde ao resto de 169 por 9, que é 7.
  • DNão corresponde ao resto de 169 por 9, que é 7.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Ver como caiu na prova Questão 6 no caderno Nível 2 da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2019 · Nível 2. Prova oficial ↗