Questão 4 (Nível 1) da OBMEP 2019

Question

O quadrado abaixo está dividido em nove quadradinhos iguais. A área pintada de vermelho mede 6\ \text{cm}^2. Quanto mede a área pintada de azul?

A
10\ \text{cm}^2
B
12\ \text{cm}^2
C
14\ \text{cm}^2
D
16\ \text{cm}^2
E
18\ \text{cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 1) da OBMEP 2019

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

O quadrado abaixo está dividido em nove quadradinhos iguais. A área pintada de vermelho mede 6\ \text{cm}^2. Quanto mede a área pintada de azul?

A
10\ \text{cm}^2
B
12\ \text{cm}^2
C
14\ \text{cm}^2
D
16\ \text{cm}^2
E
18\ \text{cm}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

A parte vermelha é formada por um quadradinho mais 4 metades de quadradinhos. Essas 4 metades juntas têm a mesma área que a de 2 quadradinhos. Assim, a área total da parte vermelha é igual à área de 1 + 2 = 3 quadradinhos. Como essa área é de 6\text{ cm}^2, cada quadradinho tem uma área de 2\text{ cm}^2.

O quadrado inteiro é formado por 9 quadradinhos. Assim, a área em azul equivale à área de 9 - 3 = 6 quadradinhos, que é igual a 6 \times 2 = 12\text{ cm}^2.

[Figura: Quadrado dividido em uma grade 3 por 3 de quadradinhos menores. O quadradinho central é vermelho, os quatro triângulos dos cantos externos formados por diagonais são vermelhos, e as demais regiões da malha são azuis.]

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Resolução comentada

Vamos contar a área em unidades de quadradinho. Seja q a área de um quadradinho.

Vermelho:

Quadradinho central: 1q.
Cada canto tem um triângulo vermelho, que é metade do quadradinho: \frac{1}{2}q. Como são 4 cantos, 4\cdot\frac{1}{2}q = 2q.
Total vermelho: 1q + 2q = 3q.

O enunciado diz que o vermelho mede 6\ \text{cm}^2, então:

3q = 6 \Rightarrow q = 2\ \text{cm}^2

Azul:

Os 4 quadradinhos das bordas (meio de cada lado) estão inteiros: 4q.
Em cada canto, o triângulo azul é a outra metade: 4\cdot\frac{1}{2}q = 2q.
Total azul: 4q + 2q = 6q.

Conferindo: o quadrado todo tem 9q, e 3q + 6q = 9q.

Agora calculamos:

6q = 6\cdot 2 = 12\ \text{cm}^2

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhuma contagem correta; subestima a área azul, que vale 6 quadradinhos.
CValor sem relação com a contagem de 6q com q=2.
DValor sem base na contagem; o azul é 6q, não 8q.
ECorresponde a 9q, a área do quadrado inteiro, ignorando o vermelho.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 4 no caderno Nível 1 da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2019 · Nível 1. Prova oficial ↗