Questão 5 (Nível 1) da OBMEP 2019

Question

A senha de Aurélio é 5149. Ele está tão acostumado com essa senha que a digita sem olhar para o teclado. Certo dia, quando foi digitar sua senha, não percebeu que o teclado estava girado de 180^\circ, ou seja, de cabeça para baixo. Qual foi o número que ele digitou?

Teclado numérico quadrado com teclas azuis dispostas em uma grade 3 por 3 numeradas de 1 a 9: a primeira linha contém 1, 2 e 3; a segunda linha contém 4, 5 e 6; e a terceira linha contém 7, 8 e 9. O teclado está apoiado sobre uma haste vertical preta.

A
5415
B
5961
C
5419
D
5981
E
5369

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 1) da OBMEP 2019

Nível 1 · Matemática: Transformações geométricas e localização

A senha de Aurélio é 5149. Ele está tão acostumado com essa senha que a digita sem olhar para o teclado. Certo dia, quando foi digitar sua senha, não percebeu que o teclado estava girado de 180^\circ, ou seja, de cabeça para baixo. Qual foi o número que ele digitou?

Teclado numérico quadrado com teclas azuis dispostas em uma grade 3 por 3 numeradas de 1 a 9: a primeira linha contém 1, 2 e 3; a segunda linha contém 4, 5 e 6; e a terceira linha contém 7, 8 e 9. O teclado está apoiado sobre uma haste vertical preta.

A
5415
B
5961
C
5419
D
5981
E
5369

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como Aurélio está acostumado a digitar sua senha sem olhar para o teclado, ele basicamente digita pelas posições. Começa pela tecla central, vai para quina superior da esquerda, desce uma posição e, em seguida, termina na quina inferior da direita, conforme o diagrama abaixo:

[Figura: Teclado numérico 3 por 3 com os números de 1 a 9 distribuídos normalmente. Uma linha vermelha conecta as teclas 5, 1, 4 e 9, que estão destacadas com círculos vermelhos.]

Rodando o teclado 180^\circ e repetindo o movimento indicado pela figura acima, ele só pode ter digitado da seguinte maneira:

[Figura: Teclado numérico rotacionado em 180 graus, com os algarismos de cabeça para baixo. O mesmo traçado conecta as posições equivalentes, correspondentes aos algarismos 5, 9, 6 e 1 (circulados em vermelho), com a indicação "5961" centralizada abaixo da moldura.]

Portanto, dentre as alternativas apresentadas, a única que pode representar o número digitado por Aurélio é a que aparece na letra B, 5961.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Girar o teclado de 180^\circ troca cada botão pelo que está na posição oposta, em relação ao centro. Aurélio aperta as posições de memória, mas nelas agora aparecem outros números.

O teclado original é:

1 2 3
4 5 6
7 8 9

Girado de 180^\circ, fica:

9 8 7
6 5 4
3 2 1

Os pares que trocam de lugar são 1\leftrightarrow 9, 2\leftrightarrow 8, 3\leftrightarrow 7 e 4\leftrightarrow 6. O 5 fica no centro e não muda.

Agora aplicamos a troca à senha 5149, dígito a dígito:

Ele quer o 5: a posição central continua com o 5.
Ele quer o 1: a posição do canto superior esquerdo agora tem o 9.
Ele quer o 4: a posição do meio à esquerda agora tem o 6.
Ele quer o 9: a posição do canto inferior direito agora tem o 1.

O número digitado foi 5961.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E engana quem confunde a rotação de 180° com um espelhamento, trocando só direita e esquerda.

Por que as outras alternativas estão erradas

ATroca só o 1 pelo 4 e o 9 pelo 1, sem aplicar a rotação completa; o 5149 não vira 5415.
CMantém quase toda a senha original (5419), sem aplicar a troca de posições a todos os dígitos.
DTroca 4 por 8, o que não corresponde à rotação de 180°; o oposto de 4 é 6.
EUsa a simetria vertical ou horizontal (1↔3, 4↔6, 7↔9), em vez da rotação de 180°.

Assunto: Transformações geométricas e localização.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 5 no caderno Nível 1 da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2019 · Nível 1. Prova oficial ↗