Questão 19 (Nível 3) da OBMEP 2019

Question

Um reservatório, inicialmente vazio, é abastecido por duas torneiras de vazões diferentes. Se cada torneira for aberta por 1/3 do tempo necessário para que a outra encha o reservatório, este ficará com 5/6 de sua capacidade preenchida. Além disso, as duas torneiras juntas enchem o reservatório inicialmente vazio em 2 horas e 30 minutos. Em quanto tempo a torneira de maior vazão enche o reservatório?

Lembre-se:

\text{vazão} = \frac{\text{volume}}{\text{tempo}}

A
3 horas
B
3 horas e 15 minutos
C
3 horas e 30 minutos
D
3 horas e 45 minutos
E
4 horas

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Nível 3) da OBMEP 2019

Nível 3 · Matemática: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão

Um reservatório, inicialmente vazio, é abastecido por duas torneiras de vazões diferentes. Se cada torneira for aberta por 1/3 do tempo necessário para que a outra encha o reservatório, este ficará com 5/6 de sua capacidade preenchida. Além disso, as duas torneiras juntas enchem o reservatório inicialmente vazio em 2 horas e 30 minutos. Em quanto tempo a torneira de maior vazão enche o reservatório?

Lembre-se:

\text{vazão} = \frac{\text{volume}}{\text{tempo}}

A
3 horas
B
3 horas e 15 minutos
C
3 horas e 30 minutos
D
3 horas e 45 minutos
E
4 horas

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Usaremos as seguintes notações:

V : Volume do reservatório;
v_1: vazão da primeira torneira;
v_2: vazão da segunda torneira;
T_1: tempo que leva a primeira torneira para encher o reservatório;
T_2: tempo que leva a segunda torneira para encher o reservatório.

Observamos que T_1 = \frac{V}{v_1} e T_2 = \frac{V}{v_2}. De acordo com o enunciado, vale a igualdade:

\frac{5}{6} V = \frac{1}{3} \cdot v_1 \cdot \frac{V}{v_2} + \frac{1}{3} \cdot v_2 \cdot \frac{V}{v_1};

portanto \frac{5}{2} = \frac{v_1}{v_2} + \frac{v_2}{v_1}. Suponhamos que a primeira torneira é a de maior vazão ( v_1 > v_2 ) e chamemos x = \frac{v_1}{v_2} > 1, então

\frac{5}{2} = x + \frac{1}{x} \Leftrightarrow 2x^2 - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2) = 0;

logo, x = \frac{v_1}{v_2} = 2. Levando em conta que as duas torneiras, juntas, enchem o reservatório em 2 horas e 30 minutos (150 min.), temos que

T_1 = \frac{V}{v_1} = \frac{150(v_1 + v_2)}{v_1} = 150\left(1 + \frac{1}{2}\right) = 225.

Assim, o tempo necessário para a torneira de maior vazão encher o reservatório é de 225 minutos = 3 horas e 45 minutos.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Sejam a e b os tempos (em horas) que cada torneira leva sozinha para encher o reservatório. As vazões são 1/a e 1/b (reservatório = 1).

A torneira A fica aberta por b/3 e a torneira B por a/3. Juntas, enchem 5/6:

\frac{1}{a}\cdot\frac{b}{3}+\frac{1}{b}\cdot\frac{a}{3}=\frac56

Seja x=b/a. Então \frac{x}{3}+\frac{1}{3x}=\frac56. Multiplicando por 6x: 2x^2+2=5x, ou seja, 2x^2-5x+2=0.

As raízes são x=\frac{5\pm3}{4}, isto é, x=2 ou x=\frac12. Logo, uma torneira leva o dobro do tempo da outra: b=2a (a escolha é só de nome).

Juntas, enchem em 2,5 h:

\frac1a+\frac1{2a}=\frac{1}{2{,}5}\Rightarrow \frac{3}{2a}=\frac25\Rightarrow a=\frac{15}{4}=3{,}75\ \text{h}

Então a = 3 h 45 min e b = 7{,}5 h. A torneira de maior vazão é a que leva menos tempo, ou seja, a de 3{,}75 h = 3 h 45 min.

Conferindo: vazões \frac{4}{15}+\frac{2}{15}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}, que dá 2,5 h. Correto.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

A3 h não satisfaz a razão 2 entre os tempos nem o tempo conjunto de 2,5 h.
B3 h 15 min não é compatível com a=15/4 h obtido pelas equações.
C3 h 30 min não satisfaz o tempo conjunto de 2 h 30 min com razão 2.
E4 h não resulta da equação 3/(2a)=2/5.

Assuntos: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão, Equações do 1º grau e problemas.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 19 no caderno Nível 3 da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2019 · Nível 3. Prova oficial ↗