Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2019

Question

Em um aniversário, todo menino conhece 4 meninas, e cada menina não conhece 5 meninos. Qual é o número mínimo de meninas e meninos nesse aniversário?

Ilustração estilizada de jovens e crianças em uma festa de aniversário com balões e confetes ao fundo.

A
4
B
8
C
18
D
20
E
100

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2019

Nível 3 · Matemática: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração

Em um aniversário, todo menino conhece 4 meninas, e cada menina não conhece 5 meninos. Qual é o número mínimo de meninas e meninos nesse aniversário?

Ilustração estilizada de jovens e crianças em uma festa de aniversário com balões e confetes ao fundo.

A
4
B
8
C
18
D
20
E
100

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Sejam h o número de meninos e m o número de meninas no aniversário. Por um lado, como cada menino conhece 4 meninas, o número de relações de conhecimento é 4 \cdot h. Por outro lado, como cada menina conhece h - 5 meninos, esse número também é igual é (h - 5) \cdot m.

De 4 \cdot h = (h - 5) \cdot m, podemos concluir que h \cdot (m - 4) = 5m. Como o membro direito dessa equação é um múltiplo de 5, segue que h ou m - 4 é um múltiplo de 5. Não podemos ter h = 5 ou m = 4, pois nesses casos a equação não possui solução.

Quando h é múltiplo de 5, os possíveis pares (h, m) que satisfazem a equação são: (10, 8), (15, 6), (20, 16/3), ...

Quando m - 4 é um múltiplo de 5, os possíveis pares (h, m) que satisfazem a equação são: (9, 9), (7 , 14), (19/3, 19), ...

Note que, se m - 4 \ge 10 ou h \ge 15, temos m + h \ge 14 + \frac{5m}{m-4} > 14 + 5 = 19 ou m + h \ge 4h/(h - 5) + 15 > 4 + 15 = 19. Assim, considerando as soluções (10,8) e (9,9), podemos concluir que m + h \ge 18.

Para exibir um exemplo em que essa soma mínima é atingida, considere uma festa contendo os meninos h_1, h_2, \dots, h_{10} e as meninas m_1, m_2, m_3, m_4, m_5, m_6, m_7, m_8. Se apenas as pessoas dentro de um dos seguintes grupos \{h_1, h_2, h_3, h_4, h_5, m_1, m_2, m_3, m_4\} e \{h_6, h_7, h_8, h_9, h_{10}, m_5, m_6, m_7, m_8\} se conhecerem, as condições do enunciado serão satisfeitas.

Logo, o número mínimo de pessoas na festa é 18.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Sejam m o número de meninos e f o de meninas. Vamos contar os pares (menino, menina) que se conhecem.

Cada menino conhece 4 meninas, então o número de pares que se conhecem é 4m.
Cada menina não conhece 5 meninos, então conhece m-5 meninos. O número de pares é f\,(m-5).
Igualando as duas contagens do mesmo total:

4m = f(m-5)

Isolando f:

f=\frac{4m}{m-5}=4+\frac{20}{m-5}

Como f é inteiro, m-5 deve dividir 20.

Além disso, cada menino conhece 4 meninas, então f\ge 4. E cada menina não conhece 5 meninos, então m\ge 5; como m-5 está no denominador, m>5.

Queremos minimizar m+f = m + 4 + \dfrac{20}{m-5}. Seja d=m-5, divisor positivo de 20. Então:

m+f = d+5+4+\frac{20}{d}=9+d+\frac{20}{d}

Testando os divisores de 20:

d=1: 9+1+20=30
d=2: 9+2+10=21
d=4: 9+4+5=18
d=5: 9+5+4=18
d=10: 9+10+2=21

O mínimo é 18, com d=4 (m=9, f=9) ou d=5 (m=10, f=8).

Verificação com m=9, f=9: 4\cdot 9=36 e 9\cdot(9-5)=36. ✓

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANúmero de meninas que cada menino conhece, sem relação com o total de pessoas.
BNão satisfaz a igualdade 4m=f(m-5) com valores inteiros que somem 8.
DÉ a soma para d=2 ou d=10 (21) arredondada; não é o mínimo nem soma possível correta, pois 18 é menor e possível.
EValor muito alto, sem relação com o mínimo obtido pela análise dos divisores.

Assunto: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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Questão 20 no caderno Nível 3 da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2019 · Nível 3. Prova oficial ↗