Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2019

Resolução comentada

Se abrirmos algumas caixas e uma delas tiver a bola de mesmo número, achamos a resposta. O difícil é o pior caso: aquele em que nenhuma das caixas abertas é a procurada. É esse caso que decide o mínimo.

2 tampas não bastam. Abra as caixas 1 e 2 e suponha que elas tenham as bolas 2 e 1. Sobram as bolas 3, 4 e 5 para as caixas 3, 4 e 5. Ainda é possível haver exatamente uma coincidência de três formas:

1. caixa 3 correta, com 4 e 5 trocadas;
2. caixa 4 correta, com 3 e 5 trocadas;
3. caixa 5 correta, com 3 e 4 trocadas.

Não dá para decidir entre elas.

3 tampas bastam. Abra as caixas 1, 2 e 3. Se uma tiver a bola de mesmo número, acabou. Se nenhuma tiver, a caixa certa é a 4 ou a 5, e duas bolas ficam para essas duas caixas. Há três possibilidades para essas duas bolas:

• As bolas 4 e 5 sobraram. Elas estariam ou ambas certas ou ambas trocadas, nunca exatamente uma certa. Esse caso é impossível, pois deveria haver exatamente uma coincidência.
• Sobrou uma das bolas 4 ou 5 junto com outra bola y\in\{1,2,3\}. Se sobrou a bola 4, então a caixa 4 só pode ter a bola 4, porque a caixa 5 com a bola 4 e a caixa 4 com y não daria nenhuma coincidência. Logo a caixa certa é a 4. Se sobrou a 5, o raciocínio é simétrico e a certa é a 5.
• Sobraram duas bolas de 1 a 3. Não haveria coincidência, o que também é impossível.

Assim, com 3 tampas sempre identificamos a caixa. O mínimo é 3.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AAbrir uma só caixa só resolve se ela for a certa; nada garante isso.
• BCom 2 caixas abertas sem coincidência, ainda restam três candidatas possíveis (3, 4 ou 5).
• DÉ suficiente, mas não é o mínimo, pois 3 tampas já garantem a resposta.
• EAbrir todas é desnecessário; a condição de haver só uma coincidência permite deduzir o resto.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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