Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2019

Question

Uma formiga caminha pela grade abaixo, podendo se mover apenas para a direita ou para cima. Se tiver duas opções para se mover, ela escolhe uma ao acaso, com probabilidade 1/2. Qual é a probabilidade de que a formiga comece no ponto A e termine no ponto B?

Grade quadriculada formada por 4 colunas e 3 linhas de quadrados. A partir da linha horizontal superior, cada uma das 5 linhas verticais se estende para cima por um segmento vertical terminando em um ponto preto. O ponto inferior esquerdo da grade está rotulado como A e o ponto na extremidade superior direita está rotulado como B.

A
1/5
B
1/32
C
1/2
D
1/10
E
1/8

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2019

Nível 3 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Uma formiga caminha pela grade abaixo, podendo se mover apenas para a direita ou para cima. Se tiver duas opções para se mover, ela escolhe uma ao acaso, com probabilidade 1/2. Qual é a probabilidade de que a formiga comece no ponto A e termine no ponto B?

Grade quadriculada formada por 4 colunas e 3 linhas de quadrados. A partir da linha horizontal superior, cada uma das 5 linhas verticais se estende para cima por um segmento vertical terminando em um ponto preto. O ponto inferior esquerdo da grade está rotulado como A e o ponto na extremidade superior direita está rotulado como B.

A
1/5
B
1/32
C
1/2
D
1/10
E
1/8

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Seja p a probabilidade de partir de A e chegar a B. Além disso, seja q a probabilidade de a formiga chegar a algum dos outros pontos no topo da pista, diferentes de B.

Como ela se move ou para a direita ou para cima, ela inevitavelmente chegará a um dos pontos do topo da pista. Assim temos que p + q = 1.

Além disso, qualquer caminho que parte de A até B tem que ser do seguinte tipo: partindo de A chega até um dos pontos da linha vertical mais à direita, e sobe até B.

Isso significa que p é a soma das probabilidades de chegar a um dos pontos na linha mais à direita do ponto A.

Mas cada caminho desses tem um caminho correspondente, com a mesma probabilidade, que chega a um dos pontos no topo da pista. Para entender esse mapeamento, chame de V um movimento vertical e de H um movimento horizontal. Um caminho até um dos pontos no topo é uma sequência de movimentos VVHV...

Para cada caminho desses, corresponde um caminho até a linha vertical mais à direita, obtido pela troca de V \leftrightarrow H. Por exemplo, o caminho VVVHV vai de A até o segundo ponto do topo, da esquerda para a direita. O caminho HHHVH vai de A até o segundo ponto, de baixo para cima, na linha vertical mais à direita de A. Esses dois caminhos têm a mesma probabilidade.

Portanto, a soma das probabilidades de se partir de A e chegar a algum ponto da linha vertical mais à direita de A é q, o que implica p = q.

Mas, como p + q = 1, p = 1/2.

OUTRA SOLUÇÃO

Qualquer caminho que parte de A e chega a B tem que ser do seguinte tipo: partindo de A chega até um dos pontos da linha vertical mais à direita de A, e sobe até B, pois, uma vez nessa linha, a formiga não tem outra opção que não seja subir até B.

Chamando de V um movimento vertical e de H um movimento horizontal, qualquer caminho até um desses pontos da linha mais à direita de A pode ser escrito como uma sequência de V’s e H’s.

Os caminhos possíveis tem, necessariamente, 4 movimentos horizontais e n movimentos verticais, com n = 0, 1, 2 ou 3. Note que, uma vez que a formiga se encontrar na linha vertical mais à direita de A, ela se movimentará verticalmente. Assim, devemos considerar os caminhos que chegam a esta linha de tal forma que o último movimento seja horizontal. A probabilidade de realizar um caminho desses é ½^{(4+n)}.

Assim, devemos calcular quantas sequências distintas podemos escrever com 3 H’s e n V’s, já que o último movimento deve ser horizontal.

Se fossem 3 + n letras distintas, pelo princípio multiplicativo, teríamos (3 + n) \times (3 + n - 1) \times \ldots \times 2 \times 1 = (3 + n)! sequências possíveis.

Mas como temos 3 H’s e n V’s, devemos dividir pelas permutações de H’s e V’s, para evitar dupla contagem. Há 3! permutações dos H’s e n! permutações dos V’s que não alteram a sequência. Assim, o número de sequências distintas com 3 H’s e n V’s é (3 + n)!/3!n!

Então, a probabilidade de partir de A e chegar a B é

p = 1/2^4 \times 3!/3! + 1/2^5 \times 4!/3!1! + 1/2^6 \times 5!/3!2! + 1/2^7 \times 6!/3!3!

= 1/16 + 4/32 + 10/64 + 20/128 = (8 + 16 + 20 + 20)/128 = 64/128 = 1/2.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Para chegar a B, a formiga precisa alcançar a lateral direita antes de subir até algum dos quatro pontos pretos à esquerda de B. Ao alcançar essa lateral, ela só poderá subir e chegará obrigatoriamente a B.

São necessários quatro movimentos para a direita. Antes do quarto, a formiga pode ter feito k=0, 1, 2 ou 3 movimentos para cima. Quatro movimentos para cima já a levariam a um ponto sem saída.

Fixado k, o último movimento até a lateral direita deve ser para a direita. Nos 3+k movimentos anteriores, distribuímos três movimentos para a direita e k para cima. Portanto, existem

\binom{3+k}{k}

sequências possíveis. Até alcançar essa lateral, cada escolha tem probabilidade 1/2, de modo que cada sequência tem probabilidade (1/2)^{4+k}.

Somando os quatro casos, que não podem ocorrer simultaneamente:

P=\frac{1}{16}+\frac{4}{32}+\frac{10}{64}+\frac{20}{128}.

Colocando tudo no mesmo denominador:

P=\frac{8+16+20+20}{128}=\frac{64}{128}=\frac12.

Os cinco pontos finais não são igualmente prováveis: as escolhas são equiprováveis em cada bifurcação, não entre os destinos.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa A confunde escolhas equiprováveis em cada bifurcação com destinos finais equiprováveis.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASupõe que os cinco pontos finais têm a mesma probabilidade de serem alcançados.
BNão considera a soma das probabilidades de todos os percursos favoráveis.
DNão corresponde à soma dos quatro casos possíveis de chegada à lateral direita.
EConta apenas a probabilidade do caso com uma subida antes de alcançar a lateral direita.

Assunto: Eventos sucessivos e distribuição binomial.

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Questão 17 no caderno Nível 3 da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2019 · Nível 3. Prova oficial ↗