Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2019

Resolução comentada

Da pedra 1 à pedra 10 a rã avança 10-1=9 posições. Cada pulo avança 1, 2 ou 3 posições (pular de uma pedra para a seguinte, ou por cima de uma ou de duas pedras). São cinco pulos, então precisamos de a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=9, com cada a_i\in\{1,2,3\}.

Subtraindo 1 de cada pulo, definimos b_i=a_i-1\in\{0,1,2\}, e então b_1+\dots+b_5=9-5=4.

Contamos as soluções por tipos de composição:

1. Quatro 1's e um 0: \frac{5!}{4!}=5 maneiras.
2. Dois 2's e três 0's: \frac{5!}{2!\,3!}=10 maneiras.
3. Um 2, dois 1's e dois 0's: \frac{5!}{1!\,2!\,2!}=30 maneiras.

Total: 5+10+30=45.

Conferindo: o número de soluções sem limite superior seria \binom{8}{4}=70. Descontamos os casos com algum b_i\ge3: escolhemos i (5 modos) e distribuímos o restante 1 entre as 5 variáveis (5 modos), o que dá 5\cdot5=25. Assim, 70-25=45.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta só um dos tipos de composição (os 10 casos de dois 3's... ou de dois 2's), esquecendo os demais.
• BValor sem justificativa combinatória; não corresponde à contagem correta das composições.
• DEquivale a \binom{9}{3}, que ignora a restrição de pulo no máximo 3 ou usa o modelo errado.
• EEquivale a \binom{9}{4}, que conta pulos sem respeitar o limite de 5 pulos e de tamanho máximo 3.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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