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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2019

Nível 3 · Matemática: Permutações

As 6 cadeiras de uma fila são numeradas de 1 a 6 e devem ser ocupadas uma de cada vez de modo que, sempre que possível, é escolhida uma cadeira sem vizinhas ocupadas.

Por exemplo, é válida a ordem de ocupação 1 6 3 2 4 5, em que a primeira pessoa ocupa a cadeira 1, a segunda, a cadeira 6, a terceira, a cadeira 3, a quarta, a cadeira 2, a quinta, a cadeira 4 e a última, a cadeira 5. Já a ordem 1 5 2 3 6 4 não é válida, pois a terceira pessoa sentou-se ao lado da primeira quando poderia ter se sentado em uma cadeira sem vizinhas ocupadas. Quantas ordens de ocupação válidas existem?

Ilustração de seis cadeiras alinhadas lado a lado, numeradas de 1 a 6

  1. A
    72
  2. B
    108
  3. C
    144
  4. D
    192
  5. E
    216
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Resolução comentada

Resolução comentada

Uma ordem é válida quando, a cada passo, a pessoa escolhe uma cadeira livre sem vizinhas ocupadas, se existir alguma. Quando não existe nenhuma, qualquer cadeira vazia serve. Vamos contar pelos primeiros lugares ocupados. Pela simetria, as primeiras cadeiras 1, 2 e 3 valem o mesmo que 6, 5 e 4.

Primeira cadeira = 1. As cadeiras sem vizinhas ocupadas são 3, 4, 5 e 6.

  • 1,3: restam 5 e 6 como opções; depois disso não há mais cadeira isolada, e as 3 restantes entram em qualquer ordem (6). Total 2\cdot 6=12.
  • 1,4: só a 6 é isolada; depois, 3!=6. Total 6.
  • 1,5: só a 3 é isolada; depois, 3!=6. Total 6.
  • 1,6: opções 3 ou 4; depois, 3!=6 cada. Total 12.

Total com a cadeira 1: 36.

Primeira cadeira = 2. Cadeiras sem vizinhas ocupadas: 4, 5 e 6.

  • 2,4: só a 6; depois, 3!=6. Total 6.
  • 2,5: nenhuma cadeira fica isolada, então as 4 restantes entram em qualquer ordem: 4!=24.
  • 2,6: só a 4; depois, 3!=6. Total 6.

Total com a cadeira 2: 36.

Primeira cadeira = 3. Cadeiras sem vizinhas ocupadas: 1, 5 e 6.

  • 3,1: opções 5 ou 6; depois, 3!=6 cada. Total 12.
  • 3,5: só a 1; depois, 3!=6. Total 6.
  • 3,6: só a 1; depois, 3!=6. Total 6.

Total com a cadeira 3: 24.

Somando e dobrando pela simetria:

2\,(36+36+24)=192.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASubconta: conta só uma parte dos casos, sem considerar todas as primeiras cadeiras e a simetria.
  • BSubconta: esquece casos em que, sem cadeira isolada, as restantes podem ser ocupadas em qualquer ordem, como 2,5.
  • CResultado de uma contagem incompleta; falta parte dos casos, como as ordens que começam em 2 ou 5.
  • EPassa de 192 porque conta ordens inválidas, em que alguém senta ao lado de outra pessoa havendo cadeira isolada.

Assunto: Permutações.

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Ver como caiu na prova Questão 15 no caderno Nível 3 da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2019 · Nível 3. Prova oficial ↗