Questão 16 (Nível 1) da OBMEP 2019

Question

Dois livros estão em uma prateleira. O Volume I está na posição correta, mas o Volume II está de cabeça para baixo. Cada capa tem espessura de 0,25 centímetros, e cada livro, sem as capas, tem espessura de 5 centímetros. Nessa disposição, qual é a distância entre a última página do Volume I e a última página do Volume II?

Dois livros lado a lado vistos pela lombada: à esquerda, o livro vermelho com "Vol I" na base em pé; à direita, o livro azul com "Vol II" no topo, de cabeça para baixo.

A
0,5 cm
B
5 cm
C
6,5 cm
D
10,5 cm
E
11 cm

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 1) da OBMEP 2019

Nível 1 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

Dois livros estão em uma prateleira. O Volume I está na posição correta, mas o Volume II está de cabeça para baixo. Cada capa tem espessura de 0,25 centímetros, e cada livro, sem as capas, tem espessura de 5 centímetros. Nessa disposição, qual é a distância entre a última página do Volume I e a última página do Volume II?

Dois livros lado a lado vistos pela lombada: à esquerda, o livro vermelho com "Vol I" na base em pé; à direita, o livro azul com "Vol II" no topo, de cabeça para baixo.

A
0,5 cm
B
5 cm
C
6,5 cm
D
10,5 cm
E
11 cm

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Basta observar a disposição das últimas páginas dos dois livros:

[Figura: Ilustração dos volumes I (vermelho) e II (azul) dispostos lado a lado em uma estante. Na parte superior, setas indicam a "Última página" (à esquerda do Volume I) e a "Primeira página" (à esquerda do Volume II). Na parte inferior, setas indicam a "Primeira página" (à esquerda do Volume II) e a "Última página" (à direita do Volume II).]

Portanto, a distância entre a última página do Volume I até a última página do Volume II é

\begin{array}{ccccccccc} 5 & + & 0{,}25 & + & 0{,}25 & + & 5 & = & 10{,}5\text{ cm} \\ \boxed{\begin{array}{c} \text{Espessura} \\ \text{do miolo} \\ \text{do Vol I} \end{array}} & & \boxed{\begin{array}{c} \text{Capa da} \\ \text{frente} \\ \text{do Vol I} \end{array}} & & \boxed{\begin{array}{c} \text{Capa da} \\ \text{frente do} \\ \text{Vol II} \end{array}} & & \boxed{\begin{array}{c} \text{Espessura} \\ \text{do miolo} \\ \text{do Vol II} \end{array}} & & \end{array}

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Resolução comentada

Esse é o clássico problema do livro na estante. Num livro em pé, com a lombada para nós, a primeira página fica do lado direito, perto da capa da frente, e a última página fica do lado esquerdo, perto da capa de trás.

No Volume I, na posição correta, a última página fica junto à capa de trás, à esquerda do livro, e a capa da frente fica à direita.

O Volume II está de cabeça para baixo, então tudo se inverte: a última página fica do lado direito do livro, junto à capa de trás, que agora está na direita.

Os dois livros estão encostados, então a distância entre as duas últimas páginas é a soma destas espessuras:

Páginas do Volume I (sem capas): 5\ \text{cm}, pois a última página está na ponta esquerda e a capa da frente fica à direita, depois das páginas.
Capa da frente do Volume I: 0{,}25\ \text{cm}.
Capa da frente do Volume II: 0{,}25\ \text{cm}, pois, invertido, esse livro tem a capa da frente à esquerda, encostada no Volume I.
Páginas do Volume II: 5\ \text{cm}.

Assim:

5 + 0{,}25 + 0{,}25 + 5 = 10{,}5\ \text{cm}

Portanto, as páginas finais estão separadas pelas duas páginas inteiras de miolo e pelas duas capas que ficam entre elas.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem soma todas as quatro capas (11 cm); a última página de cada livro fica ao lado da capa de trás, então só as duas capas da frente ficam entre elas.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConsidera só a espessura das duas capas (0,25 + 0,25), esquecendo os miolos dos livros.
BConta apenas o miolo de um livro, ignorando o outro e as capas.
CSoma um miolo, as duas capas e mais nada de forma correta (5 + 0,25 + 0,25 + 1), ou seja, só um miolo e meio, sem o segundo miolo completo.
ESoma as duas capas de cada livro (4 × 0,25 = 1) aos dois miolos, mas só duas capas ficam entre as últimas páginas.

Assuntos: Vistas, projeções e planificações, Frações, decimais e operações básicas.

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Questão 16 no caderno Nível 1 da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2019 · Nível 1. Prova oficial ↗