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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 2) da OBMEP 2019

Nível 2 · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Na figura, ABCD é um quadrado, a medida do ângulo ABE é 20^\circ e EC = BC. Qual é a medida do ângulo DFC?

Figura geométrica mostrando um quadrado ABCD, com A no vértice superior esquerdo, B no inferior esquerdo, C no inferior direito e D no superior direito. Há uma diagonal traçada de B a D. No interior do quadrado, na região do triângulo ABD, há um ponto E ligado aos vértices B e C por segmentos de reta. O segmento EC cruza a diagonal BD no ponto F. O ângulo ABE está indicado com a medida de 20°, e o ângulo DFC está destacado em cinza.

  1. A
    80^\circ
  2. B
    85^\circ
  3. C
    90^\circ
  4. D
    95^\circ
  5. E
    100^\circ
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Resolução comentada

Resolução comentada

Como ABCD é quadrado, o ângulo ABC mede 90^\circ. Sendo ABE = 20^\circ, temos:

  1. EBC = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ.

Como EC = BC, o triângulo BCE é isósceles com base BE, então os ângulos da base são iguais:

  1. BEC = EBC = 70^\circ.
  2. O ângulo do vértice C é BCE = 180^\circ - 70^\circ - 70^\circ = 40^\circ.

A diagonal BD forma 45^\circ com o lado BC, ou seja, FBC = 45^\circ.

No triângulo BFC, o ângulo BCF é o mesmo que BCE, pois F está sobre EC:

  1. BFC = 180^\circ - 45^\circ - 40^\circ = 95^\circ.

O ângulo DFC é suplementar de BFC, pois B, F, D estão alinhados:

  1. DFC = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ.

Conferindo por outro caminho: DFC é ângulo externo do triângulo BFC, logo é a soma dos internos não adjacentes: 45^\circ + 40^\circ = 85^\circ.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana: 95^\circ é o ângulo BFC, adjacente ao pedido DFC, e quem para antes do suplemento marca D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem base nos ângulos encontrados; não corresponde a nenhuma etapa correta do cálculo.
  • CSupõe que EC seja perpendicular a BD, o que só ocorreria se BCE fosse 45^\circ.
  • DÉ o ângulo BFC (95^\circ); esquece de tomar o suplemento para obter DFC.
  • EValor sem base no cálculo; erra ao combinar os ângulos de 45^\circ e 40^\circ.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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Ver como caiu na prova Questão 14 no caderno Nível 2 da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2019 · Nível 2. Prova oficial ↗