Questão 15 (Nível 2) da OBMEP 2019

Question

Flávia anotou quantas horas estudou no mês de novembro e montou a seguinte tabela:

Horas de estudo	3 h	3,5 h	5 h	7 h	9 h
Número de dias	15	7	5	2	1

Se escolhermos cinco dias ao acaso, podemos garantir que Flávia estudou

A
exatamente 5 horas em pelo menos um desses cinco dias.
B
no máximo 15 horas nesses cinco dias.
C
no máximo 33 horas nesses cinco dias.
D
no mínimo 20 horas nesses cinco dias.
E
no mínimo 16 horas nesses cinco dias.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 2) da OBMEP 2019

Nível 2 · Matemática: Tabelas e distribuição de frequências

Flávia anotou quantas horas estudou no mês de novembro e montou a seguinte tabela:

Horas de estudo	3 h	3,5 h	5 h	7 h	9 h
Número de dias	15	7	5	2	1

Se escolhermos cinco dias ao acaso, podemos garantir que Flávia estudou

A
exatamente 5 horas em pelo menos um desses cinco dias.
B
no máximo 15 horas nesses cinco dias.
C
no máximo 33 horas nesses cinco dias.
D
no mínimo 20 horas nesses cinco dias.
E
no mínimo 16 horas nesses cinco dias.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Considerando que os cinco dias foram escolhidos ao acaso e, com base nos dados da tabela, podemos concluir sobre as afirmações:

A) É falsa, pois há mais de cinco dias em que Flávia estudou um número de horas diferente de 5 horas. Nos dias escolhidos ao acaso, o número de horas estudadas por dia poderia ser, por exemplo, 3h, 3h, 7h, 7h e 9h.

B) É falsa, pois entre os dias escolhidos podem estar, por exemplo, o dia em que ela estudou 9h e um dia em que ela estudou 7h e somente esses dois dias já somam mais do que 15 horas estudadas.

C) É verdadeira. Os dias escolhidos podem ser exatamente aqueles nos quais Flávia estudou o maior número de horas por dia: um dia de 9h, dois dias de 7h e dois dias de 5h, totalizando 1\times 9 + 2\times 7 + 2\times 5 = 33 horas.

D) É falsa, pois a soma dos números de horas estudadas nos cinco dias pode ser menor do que 20 horas, por exemplo, cinco dias de 3h por dia. Neste caso a soma das horas estudadas é 15.

E) É falsa, pelo mesmo motivo anterior: a soma dos números de horas estudadas nos cinco dias pode ser menor do que 16 horas, por exemplo, cinco dias de 3h por dia. Nesse caso, a soma das horas estudadas é 15, menor do que 16 horas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Primeiro conferimos a tabela: 15+7+5+2+1=30 dias, o mês de novembro inteiro.

Como os cinco dias são escolhidos ao acaso, "garantir" significa que a afirmação vale para qualquer escolha possível. Basta achar o menor e o maior total de horas em cinco dias.

Mínimo: pegamos os dias de menor estudo. Há 15 dias com 3 h, então é possível escolher cinco deles: 5\times 3=15 h.
Máximo: pegamos os dias de maior estudo: 9 h (1 dia), 7 h (2 dias) e 5 h (2 dos 5 dias): 9+7+7+5+5=33 h.

Logo, o total em cinco dias fica entre 15 h e 33 h.

Agora cada alternativa:

(A) falso: podemos escolher cinco dias de 3 h, sem nenhum de 5 h.
(B) falso: o total pode chegar a 33 h.
(C) verdadeiro: o máximo possível é 33 h, então nunca passa disso.
(D) falso: o total pode ser 15 h.
(E) falso: o total pode ser 15 h, que é menor que 16.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AÉ possível escolher cinco dias de 3 h, sem nenhum dia de exatamente 5 h.
B15 h é o mínimo possível, não o máximo; o total pode chegar a 33 h.
DO total pode ser apenas 15 h, menor que 20 h.
ECinco dias de 3 h somam 15 h, que é menor que 16 h.

Assunto: Tabelas e distribuição de frequências.

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Questão 15 no caderno Nível 2 da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2019 · Nível 2. Prova oficial ↗