Questão 14 (Nível 1) da OBMEP 2019

Resolução comentada

Os números de 1 a 2019 são 2019 números. Como 2019 é ímpar, há um ímpar a mais que pares: ímpares são 1, 3, ..., 2019 (1010 números) e pares são 2, 4, ..., 2018 (1009 números).

A ideia é emparelhar cada ímpar com o par seguinte e ver quanto cada dupla contribui para a diferença (ímpares − pares).

1. Forme os pares: (1,2), (3,4), \ldots, (2017,2018). São 1009 pares.
2. Em cada par, ímpar − par = -1.
3. Somando todos: 1009 \cdot (-1) = -1009.
4. Sobra o 2019, que é ímpar e não tem par correspondente: -1009 + 2019 = 1010.

Conferindo pelas fórmulas: soma dos ímpares = 1010^2 = 1\,020\,100. Soma dos pares = 2(1+2+\ldots+1009) = 1009\cdot 1010 = 1\,019\,090.

Diferença: 1\,020\,100 - 1\,019\,090 = 1010.

Outra forma: 1010^2 - 1009\cdot1010 = 1010\,(1010-1009)=1010.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem emparelha 1009 duplas, obtém 1009 em módulo e esquece que o 2019 fica sem par.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão corresponde a nenhum cálculo correto; confunde a quantidade de termos com a diferença.
• BValor sem base no emparelhamento nem nas fórmulas de soma.
• CValor sem base no cálculo; não decorre de nenhuma contagem correta.
• DUsa só o resultado dos 1009 pares (ou a quantidade de pares) e esquece de somar o 2019 que sobra.

Assunto: Progressão aritmética.

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