Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2019

Resolução comentada

Cada dobra no meio cria uma reflexão: depois de duas dobras, a folha tem 4 camadas, e cada corte vira o corte e seus espelhos ao desdobrar.

O quadrado foi dobrado ao meio na horizontal e depois ao meio na vertical. A folha dobrada é, portanto, um quarto do quadrado. Os dois lados dobrados ficam no centro da folha original, e os lados soltos ficam nas bordas externas.

1. Corte diagonal no canto superior direito: esse canto da folha dobrada é o canto externo do quadrado original. Por reflexão, o corte se repete nos 4 cantos, e o resultado tem quatro cantos chanfrados.

2. Retângulo na borda direita, mais embaixo: ele fica na borda externa da folha dobrada, então se repete por reflexão. Aparece uma reentrância retangular no lado direito, e outra espelhada no lado esquerdo. Esse lado também é refletido em cima e embaixo: a reentrância fica numa posição abaixo do eixo horizontal, e seu espelho aparece acima dele. Assim, há 4 reentrâncias retangulares, duas em cada lado vertical, simétricas em relação ao eixo horizontal.

3. Semicírculo na lateral esquerda: essa lateral é o encontro das dobras, no meio do quadrado. O semicírculo está na borda dobrada vertical, no meio da altura da folha dobrada. Ao desdobrar na vertical, ele forma um círculo inteiro. A outra dobra é horizontal, e o semicírculo fica a certa altura dela, então o círculo se espelha e aparece em dois lugares, um em cima e outro embaixo do centro.

Portanto o resultado tem 4 cantos chanfrados, 4 reentrâncias retangulares e 2 orifícios circulares alinhados na vertical, como na última figura.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa C engana: cantos e reentrâncias estão certos, mas o círculo único esquece que o semicírculo está fora do eixo da segunda dobra e se duplica.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AMostra só dois cantos chanfrados e um orifício central, ignorando que o corte do canto se repete nos quatro cantos.
• BTem apenas duas reentrâncias retangulares e um só orifício, sem refletir o retângulo e o semicírculo pela segunda dobra.
• CAcerta cantos e reentrâncias, mas traz um único círculo no centro, sem o espelhamento do semicírculo na dobra horizontal.
• DTem dois cantos chanfrados e duas reentrâncias, sem a repetição dos cortes pelas duas dobras.

Assunto: Transformações geométricas e localização.

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