Questão 7 (Nível 1) da OBMEP 2018

Question

Na Figura 1 a área pintada corresponde a \frac{1}{4} da área total. Em qual figura a fração correspondente à área pintada é a maior?

A
Figura 1
B
Figura 2
C
Figura 3
D
Figura 4
E
Figura 5

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Nível 1) da OBMEP 2018

Nível 1 · Matemática: Frações, decimais e operações básicas

Na Figura 1 a área pintada corresponde a \frac{1}{4} da área total. Em qual figura a fração correspondente à área pintada é a maior?

A
Figura 1
B
Figura 2
C
Figura 3
D
Figura 4
E
Figura 5

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

[Figura: malha quadriculada contendo cinco figuras numeradas de 1 a 5 com regiões sombreadas: Figura 1 (quadrado dividido em 4 quadrados menores, com 1 sombreado), Figura 2 (composta por três triângulos retângulos isósceles congruentes, com 1 sombreado), Figura 3 (retângulo dividido em 6 retângulos congruentes, com 2 sombreados), Figura 4 (formada por 5 triângulos congruentes, com 2 sombreados) e Figura 5 (triângulo isósceles dividido ao meio por sua altura, com 1 das metades sombreada).]

Observemos que os três triângulos da Figura 2 são congruentes (portanto, têm mesma área). De fato, são três triângulos retângulos isósceles com os correspondentes lados de mesma medida (pode ser verificado facilmente no quadriculado). Consequentemente, a área pintada, que é exatamente a de um triângulo, corresponde à fração \frac{1}{3}.

Os seis retângulos que constituem a Figura 3 são congruentes. Como a área pintada é formada por dois desses retângulos, segue que a área pintada na Figura 3 corresponde a \frac{2}{6} = \frac{1}{3} da área total da Figura 3.

Por outro lado, na Figura 4, observamos cinco triângulos congruentes, sendo que apenas dois estão pintados, os quais correspondem à fração \frac{2}{5}.

Finalmente, na Figura 5, temos um triângulo isósceles formado por dois triângulos retângulos congruentes, sendo que apenas um deles está pintado. Logo, a área pintada corresponde à fração \frac{1}{2}.

Como \frac{1}{4} < \frac{1}{3} = \frac{2}{6} < \frac{2}{5} < \frac{1}{2}, a maior fração corresponde à área pintada na Figura 5, a saber, \frac{1}{2}.

Esta questão serve para exemplificar que devemos ter muito cuidado ao comparar frações, pois, entre diferentes figuras, a fração numericamente maior pode não corresponder visualmente à maior área pintada.

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Resolução comentada

Precisamos calcular a fração pintada de cada figura e comparar. Para isso, usamos a malha quadriculada, em que cada quadradinho tem lado 1.

Figura 1: é dado, \frac{1}{4} = 0{,}25.

Figura 2: o polígono é formado por um triângulo retângulo de catetos 4 e 4 (o de cima, com vértices em (0,4), (0,0)... na verdade, a metade esquerda do conjunto) mais um triângulo de baixo. Pela figura, são três triângulos iguais, cada um com catetos 4 e 4 na malha (área 8)? Não: o de cima tem catetos 3 e 3 na malha, e os três triângulos que aparecem (superior, o pintado e o inferior direito) são congruentes na contagem de quadrados. O pintado é um triângulo de cateto vertical 4... Como a figura é composta por 4 triângulos iguais, com 2 pintados, a fração vale \frac{2}{4}? Conferindo: o triângulo pintado é a região entre a vertical à esquerda e a diagonal, formando dois triângulos iguais (um dividido pela diagonal), então são 2 de 4 partes iguais? O trapézio de cima tem 1 triângulo, o pintado tem 2 e o de baixo tem 1: ao todo 4 triângulos... mas o triângulo superior tem área maior. Assim, a fração fica \frac{1}{3} ou \frac{2}{5}; ambas ficam abaixo de \frac{1}{2}.

Figura 3: 6 retângulos iguais, 2 pintados: \frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx 0{,}33.

Figura 4: o quadrado tem 4 triângulos iguais (2 pintados, metade do quadrado). O telhado tem área igual a 1 desses triângulos (metade do quadrado dividido em dois triângulos de área \frac{1}{4} do quadrado). Total: 5 triângulos iguais, 2 pintados, ou seja \frac{2}{5}=0{,}4.

Figura 5: o triângulo é dividido ao meio, e a metade esquerda é pintada: \frac{1}{2}=0{,}5.

Comparando: 0{,}25 < 0{,}33 < 0{,}4 < 0{,}5. A maior fração é a da Figura 5.

Alternativa E.

Pegadinha: A Figura 4 engana: ao ignorar o telhado, parece que metade está pintada, mas o total tem 5 triângulos iguais e a fração é \frac{2}{5}.

Por que as outras alternativas estão erradas

AA Figura 1 tem apenas \frac{1}{4}, a menor fração entre as figuras.
BA Figura 2 tem uma fração pintada menor que \frac{1}{2}, pois a parte pintada não é metade do polígono.
CA Figura 3 tem \frac{2}{6}=\frac{1}{3}, menor que \frac{1}{2}.
DConta só os 4 triângulos do quadrado (metade) e esquece o telhado, que também faz parte da figura; o correto é \frac{2}{5}.

Assuntos: Frações, decimais e operações básicas, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 7 no caderno Nível 1 da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2018 · Nível 1. Prova oficial ↗