De quantas maneiras podemos trocar uma nota de R$ 20,00 por moedas de R$ 0,10 e R$ 0,25?
A
21
B
36
C
38
D
41
E
56
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questãoResolução comentada
Resolução comentada
Trabalhe em centavos: R$ 20,00 = 2000 centavos. Se usamos x moedas de 10 e y moedas de 25, precisamos de
10x + 25y = 2000.
Dividindo tudo por 5:
2x + 5y = 400.
Como 2x e 400 são pares, 5y também precisa ser par, logo y é par. Escrevemos y = 2k, com k inteiro e k \geq 0.
Substituindo:
2x + 10k = 400 \Rightarrow x = 200 - 5k.
Para x \geq 0, precisamos de 200 - 5k \geq 0, ou seja, k \leq 40.
Assim, k pode valer 0, 1, 2, \dots, 40, o que dá 41 valores.
Cada valor de k gera um par (x, y) diferente e válido. Por exemplo: k=0 dá 200 moedas de 10 centavos e nenhuma de 25; k=40 dá y=80 moedas de 25 centavos (80\times 25 = 2000) e x=0.
Portanto há 41 maneiras de fazer a troca.
Alternativa D.
Por que as outras alternativas estão erradas
AConta apenas valores de k até 20, ou confunde o limite do número de moedas, sem justificativa.
BNão corresponde a nenhuma contagem correta de soluções inteiras não negativas de 2x+5y=400.
CErro de contagem dos valores de k; não corresponde às soluções reais.
ESuperestima as soluções, ignorando que y precisa ser par.
