Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2018

Resolução comentada

Queremos um número de dois algarismos \overline{EU} cujo quadrado seja o número de três algarismos \overline{MEU}, ou seja, termina nos mesmos dois algarismos de \overline{EU}.

1. Como \overline{EU}^2 tem três algarismos, \overline{EU} \le 31, pois 32^2 = 1024.
2. O último algarismo do quadrado é U, então U^2 termina em U. Com U não nulo, isso só ocorre para U = 1, 5 ou 6.
3. Testamos os números de dois algarismos até 31, com E não nulo, terminados em 1, 5 ou 6:

• 11^2 = 121: termina em 21, não em 11.
• 21^2 = 441: termina em 41, não em 21.
• 31^2 = 961: termina em 61, não em 31.
• 15^2 = 225: termina em 25, não em 15.
• 25^2 = 625: termina em 25. Serve!
• 16^2 = 256: termina em 56, não em 16.
• 26^2 = 676: termina em 76, não em 26.

Logo \overline{EU} = 25 e \overline{MEU} = 625, com E = 2, U = 5, M = 6.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão corresponde a nenhum número que satisfaça a igualdade; a única solução, 25^2=625, dá soma 13.
• BSoma 11 não vem de 25^2=625; é resultado de teste incorreto de candidatos.
• CSoma 12 não vem da solução 625; erro de conta ou de escolha do candidato.
• ESoma 14 não corresponde à única solução 25^2=625, cuja soma dos algarismos é 13.

Assunto: Sistemas de numeração.

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