Questão 5 (Nível 2) da OBMEP 2018

Resolução comentada

Se a caixa tem N bolinhas, cada pessoa deixa uma fração do que havia antes. Tirar 1/2 deixa 1/2; tirar 1/3 das restantes deixa 2/3; tirar 1/4 deixa 3/4; tirar 1/5 deixa 4/5.

O que sobra no final é o produto dessas frações aplicado a N:

1. N\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{5}
2. Os numeradores e denominadores se cancelam em sequência, e o produto vale \dfrac{1}{5}.
3. Sobram \dfrac{N}{5} bolinhas.

Como cada retirada precisa ser um número inteiro de bolinhas, N tem de ser divisível por 2, por 3 (após a primeira retirada restam N/2, que deve ser divisível por 3), e assim por diante. Verificando: restam N/2, depois N/3, depois N/4, depois N/5. Então N precisa ser múltiplo de 2, 3, 4 e 5, isto é, múltiplo de \text{mmc}(2,3,4,5)=60.

Como N\le 100 e há bolinhas na caixa, N=60.

Ficam \dfrac{60}{5}=12 bolinhas.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ASupõe que as retiradas esvaziam a caixa, mas cada retirada deixa uma fração positiva.
• BNão corresponde a N/5 com N múltiplo de 60 até 100.
• CDaria N=30, que não é divisível por 4 (restariam 10 após a segunda retirada, e 1/4 de 10 não é inteiro).
• EDaria N=120, que excede a capacidade de 100 bolinhas.

Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Frações, decimais e operações básicas.

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