Questão 6 (Nível 2) da OBMEP 2018

Question

Cinco crianças lançaram, cada uma, dois dados. A soma dos pontos obtidos nos dez dados foi 57. Quantas crianças, no mínimo, tiraram 6 em ambos os dados?

Ilustração circular com fundo azul-esverdeado mostrando cinco mãos de diferentes tons de pele, cada uma segurando dois dados de seis faces.

A
1
B
2
C
3
D
4
E
5

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 2) da OBMEP 2018

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Cinco crianças lançaram, cada uma, dois dados. A soma dos pontos obtidos nos dez dados foi 57. Quantas crianças, no mínimo, tiraram 6 em ambos os dados?

Ilustração circular com fundo azul-esverdeado mostrando cinco mãos de diferentes tons de pele, cada uma segurando dois dados de seis faces.

A
1
B
2
C
3
D
4
E
5

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Ao lançar dois dados de cada vez, após cinco lançamentos, obteremos 10 números. Suponha que N desses números sejam 6 e o restante igual ou menor do que 5. Como o total obtido é 57, temos:

57 \le N \times 6 + (10 - N) \times 5 = N + 50,

ou seja, N \ge 7. Isso pode ser confirmado notando que, se apenas 6 dados resultassem em 6, o maior número que José poderia ter obtido, no final, seria 6 \times 6 + 4 \times 5 = 56. Assim, podemos garantir que foram obtidos pelo menos 7 dados com o valor 6.

Suponha agora que em x lançamentos saiu um par de 6, em y lançamentos apenas um 6 e em z lançamentos nenhum 6. Note que x, y e z são inteiros entre 0 e 5, e x + y + z = 5, já que 5 é o total de lançamentos.

O número 6 saiu 2x + 1y + 0z = 2x + y vezes. Devemos ter, portanto, 2x + y \ge 7, ou seja, 7 - 2x \le y.

Por outro lado, como y = 5 - x - z \le 5 - x, juntando as duas últimas desigualdades, temos 7 - 2x \le 5 - x, o que implica x \ge 2. Devemos ter pelo menos 2 lançamentos com um par de 6.

Para estabelecer 2 como o menor número de lances em que sai um par de 6, devemos exibir uma configuração de pares que some 57, com apenas dois pares de 6. Isso pode ser obtido da seguinte forma:

(6 e 6), (6 e 6), (6 e 5), (6 e 5), (6 e 5).

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Para que o número de crianças com duas faces 6 (soma 12) seja o menor possível, as outras crianças devem tirar a maior soma possível sem que seja 6 e 6.

Se uma criança não tirou 6 em ambos os dados, a soma dela é no máximo 6+5=11.

Se k crianças tiraram 6 e 6, as outras 5-k somam no máximo 11 cada. A soma total máxima é então:

12k + 11(5-k) = 55 + k

Como a soma foi 57, precisamos de 55 + k \geq 57, ou seja, k \geq 2.

Testando:

Com k=1: o máximo é 55+1=56 < 57. Não é possível.
Com k=2: o máximo é 57. É possível, com 2 crianças tirando 12 e 3 crianças tirando 11 cada: 24+33=57. ✓

Portanto, o mínimo é 2 crianças.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ACom apenas uma criança tirando 12, a soma máxima seria 12+4·11=56, menor que 57.
CTrês crianças é possível, mas não é o mínimo, pois com 2 já se chega a 57.
DQuatro é possível, mas não é o mínimo; o valor exigido é apenas 2.
ECinco daria soma 60, e o total é 57; além disso, não é o mínimo.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 6 no caderno Nível 2 da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2018 · Nível 2. Prova oficial ↗