Helena tem três caixas com 10 bolas em cada uma. As bolas dentro de uma mesma caixa são idênticas, e as bolas em caixas diferentes possuem cores distintas. De quantos modos ela pode escolher 15 bolas dessas três caixas?
A
91
B
136
C
150
D
200
E
210
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada
Como as bolas de uma mesma caixa são idênticas, basta saber quantas bolas saem de cada caixa. Chamando de x, y, z essas quantidades, queremos contar as soluções de
x+y+z=15,\quad 0\le x,y,z\le 10.
Primeiro, ignoramos o limite de 10. Pelo método das "barras e estrelas", o número de soluções inteiras não negativas é
\binom{15+2}{2}=\binom{17}{2}=136.
Agora tiramos as soluções proibidas, aquelas em que alguma caixa dá mais de 10 bolas (11 ou mais).
Se x\ge 11, escrevemos x=11+x', e então x'+y+z=4. São \binom{6}{2}=15 soluções.
O mesmo vale para y\ge 11 e para z\ge 11: 15 soluções cada.
Duas caixas com 11 ou mais ao mesmo tempo exigiriam pelo menos 22 bolas, mais que 15. Não há sobreposição.
Total de soluções proibidas: 3\cdot 15=45.
Portanto, o número de modos é
136-45=91.
Alternativa A.
Pegadinha: A alternativa B (136) engana quem usa barras e estrelas e esquece o limite de 10 bolas por caixa.
Por que as outras alternativas estão erradas
BÉ o total sem restrição (136), esquecendo que cada caixa tem só 10 bolas.
CNão corresponde a nenhuma contagem correta; é um valor sem justificativa no problema.
DNão corresponde a nenhuma contagem correta; é um valor sem justificativa no problema.
ENão corresponde a nenhuma contagem correta; é um valor sem justificativa no problema.
