Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2018

Question

Gabriel brinca com números de dois ou mais algarismos. Ele substitui os dois primeiros algarismos à esquerda do número pela soma desses algarismos, e repete esse procedimento até obter um número de um algarismo. Por exemplo, partindo do número 2018 ele obtém o número 2, pois 2018 \rightarrow 218 \rightarrow 38 \rightarrow 11 \rightarrow 2. Quantos são os números de três algarismos a partir dos quais Gabriel pode obter o número 1?

A
9
B
10
C
56
D
80
E
100

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2018

Nível 3 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Gabriel brinca com números de dois ou mais algarismos. Ele substitui os dois primeiros algarismos à esquerda do número pela soma desses algarismos, e repete esse procedimento até obter um número de um algarismo. Por exemplo, partindo do número 2018 ele obtém o número 2, pois 2018 \rightarrow 218 \rightarrow 38 \rightarrow 11 \rightarrow 2. Quantos são os números de três algarismos a partir dos quais Gabriel pode obter o número 1?

A
9
B
10
C
56
D
80
E
100

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Os números que Gabriel pode obter nessa brincadeira são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, já que ele nunca vai obter o número 0. Um fato interessante é que, se Gabriel parte de um número n qualquer e obtém o número 1, partindo do n + 1, ele irá obter o 2, partindo do n + 2, o 3, e assim por diante, voltando a obter o número 1 novamente a partir do n + 9. A tabela abaixo ilustra esse fato com os números de três algarismos.

100 \to 10 \to 1	109 \to 19 \to 10 \to 1	\dots	991 \to 181 \to 91 \to 10 \to 1
101 \to 11 \to 2	110 \to 20 \to 2	\dots	992 \to 182 \to 92 \to 11 \to 2
102 \to 12 \to 3	111 \to 21 \to 3	\dots	993 \to 183 \to 93 \to 12 \to 3
103 \to 13 \to 4	112 \to 22 \to 4	\dots	994 \to 184 \to 94 \to 13 \to 4
104 \to 14 \to 5	113 \to 23 \to 5	\dots	995 \to 185 \to 95 \to 14 \to 5
105 \to 15 \to 6	114 \to 24 \to 6	\dots	996 \to 186 \to 96 \to 15 \to 6
106 \to 16 \to 7	115 \to 25 \to 7	\dots	997 \to 187 \to 97 \to 16 \to 7
107 \to 17 \to 8	116 \to 26 \to 8	\dots	998 \to 188 \to 98 \to 17 \to 8
108 \to 18 \to 9	117 \to 27 \to 9	\dots	999 \to 189 \to 99 \to 18 \to 9

Observe que em cada uma dessas sequências a soma dos algarismos dos números que aparecem deixa sempre o mesmo resto quando divido por 9. O critério de divisibilidade por 9 afirma isto: por exemplo, se um número de três algarismos tem a forma abc, então ele pode ser escrito como 100\ a + 10\ b + c, ou também como 99\ a + 9\ b + a + b + c. Como 99 e 9 são múltiplos de 9, eles deixam resto 0 quando divididos por 9; logo, abc e a + b + c têm o mesmo resto na divisão por 9.

Partindo de números com três algarismos, isto é, começando de 100 e somando o número 9 sucessivas vezes, obtemos uma progressão aritmética cujo termo geral é 100 + 9 \cdot (k - 1). Os números dessa progressão aritmética vão sempre terminar em 1 na brincadeira de Gabriel, sendo o último deles o número 991. Resolvendo a equação 100 + 9 \cdot (k - 1) = 991, vamos encontrar k = 100, que é a quantidade de números de três algarismos a partir dos quais Gabriel pode obter o número 1.

Outra forma de se obter esse resultado é observar que entre 100 e 999 existem 900 números e com \frac{1}{9} deles Gabriel obtém o número 1.

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Resolução comentada

O ponto principal é que cada substituição preserva o resto da divisão por 9. Isso acontece porque 10 deixa resto 1 nessa divisão: somar os algarismos mantém o mesmo resto, mesmo quando a soma tem dois algarismos.

Por exemplo, se o número inicial é 100a+10b+c, a primeira substituição produz 10(a+b)+c. A diferença entre eles é

100a+10b+c-[10(a+b)+c]=90a,

que é múltiplo de 9. A mesma propriedade vale nas etapas seguintes.

Como o processo termina em um algarismo positivo, o resultado será 1 exatamente quando o número inicial deixar resto 1 na divisão por 9: entre os algarismos de 1 a 9, somente o 1 tem esse resto.

Agora basta contar os números de três algarismos com essa característica. O primeiro é 100, e os seguintes aparecem de 9 em 9:

100,\ 109,\ 118,\ \ldots,\ 991.

Essa é uma progressão aritmética. Sua quantidade de termos é

\frac{991-100}{9}+1=99+1=100.

Portanto, existem 100 números que levam ao resultado desejado.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AO valor 9 é o intervalo entre números válidos consecutivos, não a quantidade desses números.
BConta apenas 10 casos, mas há 100 números de três algarismos com resto 1 na divisão por 9.
CSubestima a contagem: a progressão de 100 até 991, com razão 9, possui 100 termos, não 56.
DA contagem de 80 não abrange todos os 100 números válidos entre 100 e 999.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 17 no caderno Nível 3 da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2018 · Nível 3. Prova oficial ↗