Questão 17 (Nível 1) da OBMEP 2018

Question

Paulo tem tintas de quatro cores diferentes. Ele quer pintar cada região da figura de uma cor de modo que regiões vizinhas tenham cores diferentes. De quantas maneiras diferentes ele pode fazer isso?

Círculo dividido em regiões por linhas curvas, contendo em seu interior uma região quadrada circunscrita por uma das regiões maiores.

A
16
B
24
C
64
D
72
E
256

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 1) da OBMEP 2018

Nível 1 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Paulo tem tintas de quatro cores diferentes. Ele quer pintar cada região da figura de uma cor de modo que regiões vizinhas tenham cores diferentes. De quantas maneiras diferentes ele pode fazer isso?

Círculo dividido em regiões por linhas curvas, contendo em seu interior uma região quadrada circunscrita por uma das regiões maiores.

A
16
B
24
C
64
D
72
E
256

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

O círculo é composto de quatro regiões. Rotulamos as regiões como na figura. Se começarmos a pintar as regiões a partir da menor (c), teremos quatro cores para fazê-lo. A região em volta, (d), terá apenas três cores disponíveis. As duas outras regiões são vizinhas à região (d) e vizinhas entre si; portanto, a próxima região a ser pintada tem três cores disponíveis e a última, apenas duas, já que é vizinha de duas regiões. Pelo Princípio Multiplicativo, o número total de maneiras possíveis de pintar as regiões do círculo é, portanto, 4 \times 3 \times 3 \times 2 = 72.

[Figura: Círculo dividido em quatro regiões delimitadas e rotuladas com as letras a, b, c e d. A região c é a menor, contornada por uma linha tracejada no interior da região d; a região a ocupa a parte inferior e a região b ocupa o lado direito.]

Observação: A ordem em que começamos a pintar pode ser outra, mas isso pode exigir mais cuidado. Por exemplo, podemos pintar a figura na seguinte ordem: a, c, b e d. Para (a), temos 4 possibilidades e precisamos dividir em casos. Para a região (c), depende de a cor ser igual ou não à de (a). Se for igual, o número total de possibilidades é 4 \times 1 \times 3 \times 2 = 24, e se a cor de (a) for diferente da de (c), o número de possibilidades é 4 \times 3 \times 2 \times 2 = 48. Assim, seguindo este procedimento, o número total de possibilidades é 48 + 24 = 72.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Pela figura, a curva que sai do topo do círculo e vai até a borda direita, e a curva que sai da borda esquerda e encontra a primeira, dividem o círculo em três regiões grandes: a região da direita (1), a região da esquerda, que contém o quadrado (2), e a região de baixo (3). O quadrado é a quarta região.

Quem é vizinho de quem:

As regiões 1, 2 e 3 se tocam duas a duas. Logo, precisam de três cores diferentes.
O quadrado está dentro da região 2 e só toca ela. Ele só precisa ser diferente da cor da região 2.

Contagem:

Região 1: 4 cores possíveis.
Região 2: diferente da 1, então 3 cores.
Região 3: diferente da 1 e da 2, então 2 cores.
Quadrado: diferente só da região 2, então 3 cores (pode repetir a cor das regiões 1 ou 3).

4\cdot 3\cdot 2\cdot 3 = 72

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana quem esquece o quadrado ou acha que ele precisa de cor diferente de todas as outras regiões.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhuma contagem correta das cores das regiões.
BConta só as três regiões grandes (4\cdot3\cdot2) e esquece as 3 escolhas para o quadrado.
CVem de 4^3, tratando as cores como independentes e ignorando as restrições de vizinhança.
EÉ 4^4, que ignora a regra de regiões vizinhas terem cores diferentes.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 17 no caderno Nível 1 da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2018 · Nível 1. Prova oficial ↗