Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2018

Question

João tem o estranho hábito de mentir às segundas, terças e quartas. Nos outros dias da semana ele fala a verdade. Todos os dias João diz a Maria se vai mentir ou não no dia seguinte. Em quantos dias da semana João pode dizer: “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje”?

A
1
B
2
C
3
D
4
E
5

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2018

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

João tem o estranho hábito de mentir às segundas, terças e quartas. Nos outros dias da semana ele fala a verdade. Todos os dias João diz a Maria se vai mentir ou não no dia seguinte. Em quantos dias da semana João pode dizer: “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje”?

A
1
B
2
C
3
D
4
E
5

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Na tabela a seguir V significa que João fala a verdade no respectivo dia da semana, e M significa que ele mente nesse dia.

sábado	domingo	segunda	terça	quarta	quinta	sexta	sábado	domingo
V	V	M	M	M	V	V	V	V

Consideramos duas situações, levando em conta que tipo de dia João fala a frase “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje”.

a) A frase é dita num dia X em que João fala a verdade. Nesse caso, no dia anterior ele teria que ter mentido e, de acordo com a tabela, o único dia possível seria o X = quinta-feira.

b) A frase é dita num dia X que João mente. Vamos admitir que hoje ele tenha dito: “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje”. Como ele está em um dia no qual ele só mente, esta frase deve obrigatoriamente ser falsa, assim sendo, sua negação: “Ontem eu disse a Maria que não mentiria hoje” ou equivalentemente “Ontem eu disse a Maria que falaria a verdade hoje” deve ser obrigatoriamente verdadeira e, de fato, no dia anterior ele disse a Maria que falaria a verdade hoje. Podemos afirmar isto com certeza pois, pelo enunciado, ele emite sua opinião acerca do que vai acontecer no dia seguinte em todos os dias da semana.

Analisemos agora o que pode ter acontecido no dia anterior:

b₁) No dia anterior João falou a verdade; nesse caso, como ele disse a Maria que falaria a verdade hoje, isso deve ser verdadeiro. Logo, hoje João deveria ter falado a verdade. Isso é uma contradição, pois estamos no caso b).

b₂) No dia anterior João mentiu e, como afirmou que no dia seguinte falaria a verdade, no dia seguinte, de fato, ele deve ter mentido. Aqui não há contradição e este caso pode ter ocorrido.

Disso podemos concluir que, se João disser a frase: “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje” em um dia da semana em que ele mente, então, no dia anterior a esse dia ele também deveria ter mentido. Isso só é possível na terça e na quarta.

Conclusão: João só pode ter dito a frase do enunciado em três dias da semana: na terça, na quarta ou na quinta-feira, justamente os dias seguintes aos dias em que ele mentiu.

Segunda solução:

Vamos determinar em que dias da semana ele pode ter dito a frase “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje”.

Indiquemos, como antes, por V um dia em que ele fala a verdade e por M um dia em que mente.

Para isso, analisemos dois dias consecutivos. Eles podem ser do tipo VV, como quinta e sexta, VM, como domingo e segunda, MV, como quarta e quinta, ou MM, como segunda e terça.

Par de dias VV

Nesse caso, no primeiro dia João diz que falará a verdade no dia seguinte, já que é um dia de contar a verdade. No dia seguinte, como ele fala a verdade, repete a afirmação do dia anterior. Portanto, a frase “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje” não pode ter sido dita em um dia V depois de um dia V.

Par de dias VM

No primeiro dia, um dia de falar a verdade, João dirá “amanhã vou mentir”, pois o dia seguinte é um dia do tipo M. Porém, no dia seguinte ele dirá uma mentira, portanto, dirá “ontem eu disse que iria dizer a verdade hoje”. Assim, a frase “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje” não pode ter sido dita em um dia M depois de um dia V.

Par de dias MM

No primeiro dia João dirá, “amanhã vou falar a verdade”, já que ele mente e o dia seguinte é um dia que ele também mente. No dia seguinte ele mente mais uma vez, dizendo “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje”. Portanto, a frase “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje” pode ter sido dita em um dia de mentir que segue um dia de mentir.

Par de dias MV

No primeiro dia João dirá uma mentira, que nesse caso é “amanhã vou mentir”, já que o dia seguinte seria um dia de dizer a verdade. No dia seguinte ele diz, portanto, “ontem eu disse que mentiria hoje”, pois fala a verdade neste dia. Assim, a frase “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje” pode ter sido dita em um dia em que João mente, seguido de um dia em que João diz a verdade.

Conclusão: a frase de João pode ter sido dita em qualquer dia que segue um dia em que João mente. Analisando a tabela, vemos que isso ocorre terça, quarta e quinta. Assim, João pode ter dito a frase “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje” apenas nesses três dias.

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Resolução comentada

Chamemos de dia de mentira: seg, ter e qua. Nos outros (qui, sex, sáb, dom) ele fala a verdade.

A frase tem duas partes: ontem ele disse que mentiria hoje. Para saber se é verdadeira, precisamos do que ele disse ontem. O que ele diz ontem sobre hoje depende de ontem ser dia de verdade ou de mentira:

Dia de verdade: ele diz o que de fato vai acontecer.
Dia de mentira: ele diz o contrário do que vai acontecer.

Vamos testar cada dia de hoje. Para cada um, vemos o que ele realmente disse ontem e se a frase é verdadeira.

Segunda (mente): ontem foi domingo (verdade). Hoje ele mente, então domingo ele disse "mentirei amanhã". A frase é verdadeira, mas segunda é dia de mentira, então ele não a diria.
Terça (mente): ontem, segunda (mente), ele disse "não mentirei amanhã", pois terça é dia de mentira. A frase é falsa, e como hoje ele mente, ele pode dizê-la. Serve.
Quarta (mente): ontem, terça (mente), disse "não mentirei"? Quarta é dia de mentira, então terça disse "não mentirei amanhã". A frase é falsa, e ele mente: serve.
Quinta (verdade): ontem, quarta (mente), a quinta é dia de verdade, então quarta disse "mentirei amanhã". A frase é verdadeira e ele fala a verdade: serve.
Sexta (verdade): ontem, quinta (verdade), sexta é verdade, então disse "não mentirei". A frase é falsa, mas ele diz a verdade: não serve.
Sábado (verdade): ontem disse "não mentirei": não serve.
Domingo (verdade): ontem, sábado, disse "não mentirei" (segunda é mentira, então sábado disse "mentirei" ). Segunda é dia de mentira, logo no domingo ele diz "mentirei amanhã". Para o sábado: domingo é dia de verdade, então sábado disse "não mentirei". Frase falsa, domingo é verdade: não serve.

Dias possíveis: terça, quarta e quinta, ou seja, 3 dias.

Alternativa C.

Pegadinha: Segunda engana: a frase seria verdadeira (domingo ele avisa que mentirá), mas como segunda é dia de mentira ele não pode dizê-la.

Por que as outras alternativas estão erradas

Aconta só um dos dias possíveis; terça, quarta e quinta servem.
Besquece um dos três dias que satisfazem a condição.
Dinclui segunda, em que a frase é verdadeira, mas ele mente nesse dia.
Econta dias em que a frase falsa é dita em dia de verdade.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 16 no caderno Nível 3 da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2018 · Nível 3. Prova oficial ↗