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Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2018

Nível 2 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Na figura abaixo, ABCD é um paralelogramo. O ponto E é ponto médio de AB, e F é ponto médio de CD. Qual é a razão entre a área do triângulo GIH e a área do paralelogramo ABCD?

Paralelogramo ABCD com os pontos médios E em AB e F em CD. Os segmentos GC passando por E e HB passando por F interceptam-se no ponto I, e a reta suporte da base AD contém os pontos G, A, D e H, formando o triângulo GIH.

  1. A
    9/8
  2. B
    5/4
  3. C
    4/3
  4. D
    3/2
  5. E
    2
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Pela figura, AD e BC são lados paralelos do paralelogramo, e G, A, D, H ficam sobre a mesma reta. A reta GC passa por E e a reta BH passa por F.

Coloque A=(0,0), D=(1,0), B=(p,h) e C=(p+1,h). O paralelogramo tem base AD=1 e altura h, então sua área é h.

  1. Triângulos GAE e CBE: E é ponto médio de AB, AE=EB e GA \parallel BC. Os triângulos são congruentes (ALA), logo GA=BC=1.
  2. Do mesmo modo, F é ponto médio de CD e BC\parallel DH, então DH=BC=1.
  3. Assim GH = GA+AD+DH = 1+1+1 = 3.
  4. I é a interseção de GC e BH. Como BC\parallel GH, os triângulos IBC e IHG são semelhantes, com razão BC/GH = 1/3.
  5. A altura de I em relação a BC é x e em relação a GH é 3x. A soma é h, então 4x=h e a altura de I até GH é \frac{3h}{4}.
  6. Área de GIH:
\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \frac{3h}{4}=\frac{9h}{8}

Razão com a área do paralelogramo:

\frac{9h/8}{h}=\frac{9}{8}

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BResultado sem base nos cálculos de semelhança; não decorre de GH=3 e altura 3h/4.
  • CUsa a altura errada para I (por exemplo h em vez de 3h/4) ou razão de semelhança incorreta.
  • DCorresponde a tomar a altura do triângulo como h com base 3, ignorando que I está abaixo de BC.
  • ESupõe base 4 ou altura h, superestimando a área do triângulo.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: OBMEP 2018 · Nível 2. Prova oficial ↗