Questão 16 (Nível 2) da OBMEP 2018

Resolução comentada

Vamos contar quantos algarismos cada grupo de múltiplos de 7 usa, até chegar ao 100º.

1. Múltiplos de 1 algarismo: só o 7. Total: 1 algarismo.
2. Múltiplos de 2 algarismos: de 14 a 98. Como 98 = 7\cdot 14, são 14-1=13 números, ou seja, 13\cdot 2 = 26 algarismos. Acumulado: 1+26=27.
3. Múltiplos de 3 algarismos: de 105 em diante, cada um usa 3 algarismos. Faltam 100-27=73 algarismos.

Como 73 = 3\cdot 24 + 1, usamos 24 múltiplos completos de 3 algarismos e o 100º algarismo é o primeiro algarismo do 25º múltiplo de 3 algarismos.

O primeiro é 105=7\cdot 15. O 25º é 7\cdot(15+24)=7\cdot 39=273.

Verificação: 7\cdot 39 = 273. Sim.

O primeiro algarismo de 273 é 2, e esse é o centésimo algarismo escrito.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ACorresponde a um algarismo de outro ponto da sequência; erra a contagem ao não considerar que o 100º é o primeiro algarismo de 273.
• BResulta de errar a contagem dos algarismos acumulados (por exemplo, contar 14 números de dois algarismos), caindo em outro múltiplo.
• DSeria o resultado de parar no número errado (por exemplo, 259 ou 252), por erro de uma posição na contagem.
• EVem de errar o número de múltiplos de dois algarismos e cair em outro algarismo, não o primeiro de 273.

Assunto: Sequências e padrões.

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