Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2018

Question

Um polígono simples com 2018 lados é desenhado a partir de um vértice P no interior de um quadrado. Nenhum vértice do polígono está sobre qualquer lado do quadrado, e nenhum vértice do quadrado está sobre qualquer lado do polígono. Dentre as alternativas abaixo, qual é a única que pode corresponder ao número de intersecções entre lados do quadrado e lados do polígono?

Quadrado com vértices A, B, C e D e uma linha poligonal que se inicia no ponto P, no interior do quadrado, cruzando os lados do quadrado várias vezes por dentro e por fora, com trechos em linha pontilhada indicando a continuação do polígono.

Um polígono é simples quando não há intersecção de lados não adjacentes.

A
816
B
911
C
1015
D
2017
E
4036

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2018

Nível 3 · Matemática: Ângulos, polígonos e quadriláteros

Um polígono simples com 2018 lados é desenhado a partir de um vértice P no interior de um quadrado. Nenhum vértice do polígono está sobre qualquer lado do quadrado, e nenhum vértice do quadrado está sobre qualquer lado do polígono. Dentre as alternativas abaixo, qual é a única que pode corresponder ao número de intersecções entre lados do quadrado e lados do polígono?

Quadrado com vértices A, B, C e D e uma linha poligonal que se inicia no ponto P, no interior do quadrado, cruzando os lados do quadrado várias vezes por dentro e por fora, com trechos em linha pontilhada indicando a continuação do polígono.

Um polígono é simples quando não há intersecção de lados não adjacentes.

A
816
B
911
C
1015
D
2017
E
4036

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Imaginemos uma formiguinha caminhando sobre os lados da poligonal, começando em P e dando um passeio completo pelos lados da poligonal até voltar ao ponto P. Cada vez que a formiguinha passa por uma das intersecções entre lado da poligonal e lado do quadrado, ela muda o seu estado em relação ao quadrado, ou seja, se estava dentro passa a estar fora e se estava fora passa a estar dentro.

Como a formiguinha começa dentro do quadrado e termina dentro do quadrado, então ela precisa mudar de estado um número par de vezes. Logo, o número de intersecções entre lados do quadrado e lados da poligonal é, obrigatoriamente, par, o que já elimina as alternativas B), C) e D).

Embora 4036 seja par, também não pode corresponder ao número procurado, pois, como há 2018 lados na poligonal, só poderíamos chegar ao número 4036 se todos os lados da poligonal cortassem lados do quadrado duas vezes, o que é impossível, pois os lados que partem de P necessariamente começam dentro do quadrado e não conseguem, portanto, cortar dois lados do quadrado.

Portanto, dentre as opções, a única que pode corresponder ao número de intersecções entre lados do quadrado e lados do polígono é 816.

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Resolução comentada

O polígono é uma curva fechada que passa pelo vértice P, que está dentro do quadrado. Cada vez que o polígono cruza um lado do quadrado, ele passa do interior para o exterior ou o contrário.

Como a curva é fechada e começa dentro, ela volta ao ponto de partida, também dentro. Logo o número de travessias é par. Isso já elimina as alternativas ímpares: 911, 1015 e 2017.

Sobram 816 e 4036. Vamos ver o limite superior.

O polígono tem 2018 lados e cada lado é um segmento de reta.
Um segmento de reta corta o contorno do quadrado, que é convexo, no máximo 2 vezes.
Então o total de intersecções é no máximo 2\cdot 2018 = 4036.

Para atingir 4036, todo lado teria de cortar o quadrado duas vezes, entrando e saindo. Mas o lado que sai de P tem uma extremidade dentro do quadrado, pois P está no interior. Esse lado só pode cortar o contorno uma vez (extremidade dentro e a outra fora, ou as duas dentro e nenhuma vez). Os dois lados que chegam em P estão nessa situação, então cada um tem no máximo 1 intersecção.

Assim o máximo é 2\cdot 2016 + 2\cdot 1 = 4034, e 4036 é impossível.

Portanto o único valor possível é 816, que é par e menor que o máximo.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana quem só usa o limite de 2 cruzamentos por lado e esquece que os lados ligados a P cruzam o quadrado no máximo uma vez.

Por que as outras alternativas estão erradas

B911 é ímpar, mas a curva fechada que começa e termina dentro do quadrado cruza o contorno um número par de vezes.
C1015 é ímpar, o que contradiz a paridade das travessias.
D2017 é ímpar, o que contradiz a paridade das travessias.
E4036 é par, mas exigiria 2 cruzamentos por lado, e os dois lados que chegam em P têm uma extremidade dentro do quadrado, então o máximo é 4034.

Assunto: Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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OBMEP 2018 · Questão 20 (Nível 2)Um polígono é simples quando não há intersecção de lados não adjacentes.

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Questão 15 no caderno Nível 3 da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2018 · Nível 3. Prova oficial ↗