Questão 20 (Nível 2) da OBMEP 2018

Question

Um polígono simples com 2018 lados é desenhado a partir de um vértice P no interior de um quadrado. Nenhum vértice do polígono está sobre qualquer lado do quadrado, e nenhum vértice do quadrado está sobre qualquer lado do polígono. Dentre as alternativas abaixo, qual é a única que pode corresponder ao número de intersecções entre lados do quadrado e lados do polígono?

Quadrado com vértices A, B, C e D e um polígono que se inicia no vértice P em seu interior, cruzando suas bordas repetidas vezes

Um polígono é simples quando não há intersecção de lados não adjacentes.

A
816
B
911
C
1015
D
2017
E
4036

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 2) da OBMEP 2018

Nível 2 · Matemática: Ângulos, polígonos e quadriláteros

Um polígono simples com 2018 lados é desenhado a partir de um vértice P no interior de um quadrado. Nenhum vértice do polígono está sobre qualquer lado do quadrado, e nenhum vértice do quadrado está sobre qualquer lado do polígono. Dentre as alternativas abaixo, qual é a única que pode corresponder ao número de intersecções entre lados do quadrado e lados do polígono?

Quadrado com vértices A, B, C e D e um polígono que se inicia no vértice P em seu interior, cruzando suas bordas repetidas vezes

Um polígono é simples quando não há intersecção de lados não adjacentes.

A
816
B
911
C
1015
D
2017
E
4036

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Imaginemos uma formiguinha caminhando sobre os lados da poligonal, começando em P e dando um passeio completo pelos lados da poligonal até voltar ao ponto P. Cada vez que a formiguinha passa por uma das intersecções entre lado da poligonal e lado do quadrado, ela muda o seu estado em relação ao quadrado, ou seja, se estava dentro passa a estar fora e se estava fora passa a estar dentro.

Como a formiguinha começa dentro do quadrado e termina dentro do quadrado, então ela precisa mudar de estado um número par de vezes. Logo, o número de intersecções entre lados do quadrado e lados da poligonal é, obrigatoriamente, par, o que já elimina as alternativas B), C) e D).

Embora 4036 seja par, também não pode corresponder ao número procurado, pois, como há 2018 lados na poligonal, só poderíamos chegar ao número 4036 se todos os lados da poligonal cortassem lados do quadrado duas vezes, o que é impossível, pois os lados que partem de P necessariamente começam dentro do quadrado e não conseguem, portanto, cortar dois lados do quadrado.

Portanto, dentre as opções, a única que pode corresponder ao número de intersecções entre lados do quadrado e lados do polígono é 816.

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Resolução comentada

O polígono é uma curva fechada que começa em P, dentro do quadrado, e volta a P. Cada vez que um lado do polígono cruza o quadrado, o percurso passa de dentro para fora ou de fora para dentro. Como o percurso termina no ponto de partida (dentro), o número de intersecções com o quadrado é par.

Isso elimina a alternativa B (911), a C (1015) e a D (2017), que são ímpares. Sobram A (816), B já descartada, e E (4036).

Agora o limite superior. Cada lado do polígono é um segmento de reta e o quadrado é convexo, então um segmento cruza o contorno do quadrado no máximo 2 vezes. Com 2018 lados, o máximo seria 2\cdot 2018 = 4036.

Mas, para um lado cruzar 2 vezes, seus dois extremos (vértices) precisam estar fora do quadrado, e o segmento passa por dentro. O vértice P está dentro, então os dois lados que saem de P cruzam o contorno no máximo uma vez cada (um extremo está dentro). Portanto o máximo é:

2\cdot 2016 + 1 + 1 = 4034 < 4036.

Logo 4036 é impossível.

Restam números pares até 4034. Sobra apenas 816, que é par e menor que o máximo, e pode ser construído.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E (4036=2\cdot 2018) engana quem não percebe que os lados ligados a P cruzam o quadrado só uma vez; as ímpares enganam quem esquece a paridade.

Por que as outras alternativas estão erradas

B911 é ímpar, mas o número de intersecções deve ser par, pois o percurso começa e termina dentro do quadrado.
C1015 é ímpar, o que é impossível pela paridade.
D2017 é ímpar, impossível pela paridade.
E4036 supõe 2 cruzamentos em todos os lados, mas os dois lados que saem de P cruzam no máximo uma vez; o máximo é 4034.

Assunto: Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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Esta questão também caiu em

OBMEP 2018 · Questão 15 (Nível 3)Um polígono é simples quando não há intersecção de lados não adjacentes.

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Questão 20 no caderno Nível 2 da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2018 · Nível 2. Prova oficial ↗