Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2018

Question

Os seis números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 devem ser colocados nos quadrados de tal forma que eles fiquem em ordem crescente em cada linha (da esquerda para a direita) e em cada coluna (de cima para baixo). De quantas maneiras isso pode ser feito?

Grade com duas linhas e três colunas de quadrados brancos

A
4
B
5
C
6
D
7
E
8

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2018

Nível 1 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Os seis números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 devem ser colocados nos quadrados de tal forma que eles fiquem em ordem crescente em cada linha (da esquerda para a direita) e em cada coluna (de cima para baixo). De quantas maneiras isso pode ser feito?

Grade com duas linhas e três colunas de quadrados brancos

A
4
B
5
C
6
D
7
E
8

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Primeiramente, vamos observar que o quadrado do canto superior esquerdo deve ser preenchido com um número inferior a todos os demais, portanto, deve ser preenchido com o número 1. Por raciocínio idêntico, o quadrado do canto inferior direito deve ser preenchido com o número 6.

O número 2 obrigatoriamente precisa entrar em um dos dois quadrados nomeados com as letras a e b na figura acima. Abriremos o problema nestas duas hipóteses:

[Figura: Grade 2 por 3 de quadrados, contendo 1, a, c na linha superior e b, d, 6 na linha inferior, com uma faixa cinza ligando o quadrado b ao quadrado a.]

a) O número 2 é colocado no quadrado a:

Neste caso, podemos preencher o quadrado c com qualquer um dos três números restantes (3, 4 ou 5) e os quadrados b e d ficarão determinados pelos dois outros números ainda não utilizados, escritos em ordem crescente. Desse modo, nesta primeira hipótese, há 3 maneiras de se preencherem os quadrados dentro das regras do enunciado.

[Figura: Grade 2 por 3 de quadrados contendo 1, 2, c na linha superior e b, d, 6 na linha inferior.]

b) O número 2 é colocado no quadrado b:

Neste caso, o quadrado a precisa ser preenchido com o menor número que ainda não foi usado, o número 3. Então, só falta colocar o 4 no quadrado c ou no d. Desse modo, nessa segunda hipótese, há 2 maneiras de se preencherem os quadrados, dentro das regras do enunciado.

[Figura: Grade 2 por 3 de quadrados contendo 1, a, c na linha superior e 2, d, 6 na linha inferior.]

Juntando as duas hipóteses, há um total de 3 + 2 = 5 maneiras de se preencherem os seis quadrados. São as seguintes:

\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} \qquad \begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 5 & 6 \end{matrix} \qquad \begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ 3 & 4 & 6 \end{matrix} \qquad \begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 5 & 6 \end{matrix} \qquad \begin{matrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{matrix}

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Resolução comentada

Temos uma grade de 2 linhas e 3 colunas. Em cada linha os números crescem para a direita e em cada coluna crescem para baixo. Isso é o mesmo que contar os tableaux de Young de formato 2×3.

Primeiro, o 1 só pode ficar no canto superior esquerdo, porque ele é menor que todos os vizinhos. Pelo mesmo motivo, o 6 só pode ficar no canto inferior direito.

Sobram os números 2, 3, 4 e 5 para as quatro casas restantes. Chame de a, b as casas da linha de cima, depois do 1, e de c, d as casas da linha de baixo, antes do 6:

\begin{matrix}1 & a & b\\ c & d & 6\end{matrix}

As condições são a<b, c<d, a<d e b<6 (esta última sempre vale). Além disso, 1<c vale sempre.

O 2 precisa ficar ao lado do 1 ou abaixo dele, ou seja, em a ou em c.

Se a=2, sobram 3, 4 e 5 para b, c, d, com c<d. Escolhemos qual número vai para b: 3, 4 ou 5. Os outros dois entram em c<d de uma única forma. Dá 3 maneiras.
Se c=2, então a deve ser menor que b e menor que d, e d>c vale sempre. Sobram 3, 4 e 5 para a, b, d, e a tem de ser o menor, ou seja, 3. Os números 4 e 5 vão para b e d em qualquer ordem. Dá 2 maneiras.

Total: 3+2=5 maneiras.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AEsquece algum caso, por exemplo contando só uma das ordens de 4 e 5 quando o 2 fica embaixo.
CSuperconta, como se b e d pudessem ser trocados sem respeitar a<d em todos os casos.
DConta casos que violam a ordem crescente em alguma coluna.
EQuase todas as permutações são contadas, sem aplicar as restrições de linha e coluna.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 13 no caderno Nível 1 da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2018 · Nível 1. Prova oficial ↗