Questão 14 (Nível 1) da OBMEP 2018

Question

Na conta abaixo, cada letra representa um algarismo diferente. Qual é o algarismo representado pela letra P?

Operação de adição armada: primeira parcela com as letras estilizadas O B M E P, segunda parcela com o sinal de adição e as letras O B M alinhadas às três últimas ordens; abaixo do traço de soma, o resultado 20000.

A
0
B
2
C
5
D
7
E
9

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 1) da OBMEP 2018

Nível 1 · Matemática: Sistemas de numeração

Na conta abaixo, cada letra representa um algarismo diferente. Qual é o algarismo representado pela letra P?

Operação de adição armada: primeira parcela com as letras estilizadas O B M E P, segunda parcela com o sinal de adição e as letras O B M alinhadas às três últimas ordens; abaixo do traço de soma, o resultado 20000.

A
0
B
2
C
5
D
7
E
9

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como o resultado da conta é 20000, e como cada letra representa um algarismo diferente, então,

somando os algarismos das unidades teremos P + M = 10, ou seja, P e M são tais que na casa das unidades do resultado fica zero e vai um;
somando os algarismos das dezenas teremos 1 + E + B = 10, ou seja, E e B são tais que na casa das dezenas do resultado fica zero e vai um;
somando os algarismos das centenas teremos 1 + M + O = 10, ou seja, M e O são tais que na casa das centenas do resultado fica zero e vai um;
somando os algarismos das unidades de milhar teremos 1 + B = 10, ou seja, B é tal que que na casa das unidades de milhar do resultado fica zero e vai um;
e, finalmente, somando os algarismos das dezenas de milhar teremos 1 + O = 2.

Logo, O = 2 - 1 = 1, B = 10 - 1 = 9, M = 10 - 1 - O = 8, E = 10 - 1 - B = 0 e P = 10 - M = 2. Assim, OBMEP representa o número 19802, OBM representa o número 198. A letra P representa o algarismo 2.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

A conta é \overline{OBMEP} + \overline{OBM} = 20000, com letras diferentes representando algarismos diferentes. A segunda parcela está alinhada à direita, então M fica na ordem das unidades de milhar... na verdade, O, B, M ocupam as centenas, dezenas e unidades de \overline{OBM}, e na primeira parcela ocupam as ordens 10000, 1000 e 100.

Vamos resolver da direita para a esquerda:

Unidades: P + M termina em 0.
Dezenas: E + B (mais o que "vai um") termina em 0.
Centenas: M + O (mais o que "vai um") termina em 0.
Milhares: B + o que veio = termina em 0.
Dezenas de milhar: O + o que veio = 2.

Como \overline{OBMEP} é um número de 5 algarismos com soma 20000, O vale 1 (se O=2, a soma passaria de 20000). Então O=1 e na última coluna 1 + 1 = 2, com "vai um" vindo dos milhares.

Nos milhares, B + vai-um termina em 0 e gera "vai um": como B \neq 0 (senão repetiria o caso sem vai-um, impossível), B=9 com vai-um 1.

Nas centenas: M + O + \text{vai-um} = 10, ou seja, M + 1 + c = 10. Para B=9, os milhares exigem 9 + c_3 = 10, logo c_3=1, e então M=8 (com c=1) ou M=9 (impossível, pois B=9). Com M=8: 8+1+1=10, certo, então c=1 nas dezenas.

Dezenas: E + B + c_1 = 10, ou seja, E + 9 + c_1 = 10 com c_1 vindo das unidades. Como c_2=1 já exigido, E+9+c_1=10 dá E=1-c_1. E\neq1 (é O), logo E=0 e c_1=1.

Unidades: P + 8 = 10, logo P=2.

Conferindo: 19802 + 198 = 20000 ✓.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

A0 é o valor de E, não de P.
C5 não fecha a soma das unidades com M=8.
D7 exigiria M=3, incompatível com as colunas seguintes.
E9 é o valor de B, não de P.

Assunto: Sistemas de numeração.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 14 no caderno Nível 1 da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2018 · Nível 1. Prova oficial ↗